1
Si 0.6 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.7 0
Si
0.23
（1）总体平均理赔额为23/100＝0.23。
（2）投保人9和1的理赔记录明显偏高，0.7 与0.6的比例足以认为这二人的风险水平要劣 于集体的风险水平；
（3）投保人7、8和10无理赔记录，表明他们 的风险水平又优于集体的风险水平。
（2）保单组合的情形 设有N个同质的保单在观察时期内发生理赔，每
一份保单的纯保费可以表示为 p E(S) N
其中E(S)表示保单组合的总理赔额的期望， 例如：200辆汽车总理赔额的期望为80000美元， 则保费为80000/200=400美元。
1.经验估费
所谓经验费率厘定，就是在确定投保人的保费 时，要考虑个人的理赔经验。
当 z 1 时，称经验数据具有完全信度。
当 z 0 时，称为经验数据没有信度。
当 0 z 1 时，称为经验数据具有部分信度。
§信度模型----古典信度理论
即有限波动信度，核心思想是从投保人的自身 索赔经验来确定可信保费。需要确定当经验数 据达到多大规模时，才可以给与100%的可信程 度，此数据规模被称作完全可信度标准。
这样的估计是否符合实际情形，需要经验数据 来验证。为了搜集足够的理赔数据，保险公司 连续追踪十年，采集的全部数据显示于下表。
请分析下表的数据，说明保费收取是否合理， 该如何改进。
年份
投保人
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1
2 11
1
31
1
1
4
1
1
5
11
1
6
1
7 11
11
81
1
1
91
10 1
当观察值 X与真值 的差别相对于 很小时，
我们则认为 X 是稳定的，具有完全信度。
完全可信条件
P(| X | r) p
r 0, 0 p 1 （1）
当r接近0，p接近1时（通常选取r=0.05， p=0.9）， 则对 X 赋予完全可信。
由（1）有
P(| X | r n ) p n
如果经验数据的规模达到或超过这个标准，则 经验数据的信度因子Z=1；否则，其信度因子 将小于1，小于1的信度因子被称为部分可信度。
一、数学模型
设Xj表示某投保人在过去时期j的损失或理赔， 也可以看作某保单组合中第j份保单的损失， 或者风险分级系统中第j类的损失。 假设：E( X j ) var( X j ) j 1,L , n
（1） P(r X r) p r 0, 0 p 1
（2） r n n
yp
n0
（3）Var(X ) 2 2
n n0
（C1）
2 n n0 2 ,
此条件给出了经验值 需要的最小样本量。
X 完全可信所
（C2）
n
n0
2
或者
n i 1
Xi
n0
2
此条件给出了为保证经验值 X 完全可信
定义
yp
X
inf {P(|
y
n
|
y)
p}
（2）
当
X
是连续变量时，yp 满足
P(| X
|
n
yp)
p
因此，若经验值 X 是完全可信的，则有
r n / yp

即
r n n
yp
n0
（4）
n0 ( yp / r)2
如果经验值 X 是完全可信的，则变量X的变差系数 / 不大于 n / n0 。
几个常用的完全可信条件
保费的构成
纯保费（pure premium)
保险费
附加保费
完全附加保费（应付难以预料的确定性赔付） 费用附加（支付经营费用，代理费用，税金等）
纯保费是保险公司为了支付该保单在保险期间的期望 赔付成本而收取的保险费。可以分成两种情况考虑：
（1）个别保单情形:
pi E(Ci ) ，其中pi 表示第i份保单 的纯保费，E(Ci ) 表示该保单的期望赔付成本。
第十三章 经验费率
§引言 §信度模型
古典信度模型（有限波动信度） Buhlmann信度模型（最小二乘信度模型） § 奖惩系统
§引言
费率厘定的重要目标： 1.收取足够多的保费以应付索赔； 2.保费应根据投保人的风险水平公平合理地 分配。
例：假设某保险公司开发一新险种，保单组合 由10位投保人构成。开始，由于没有任何理赔 经验数据，只能先验地假定他们具有相似的风 险水平。然后假定每一投保人每年至多引发一 次理赔，且理赔额为1。最初，根据同行业的损 失水平，估计这一保单组合的保费为0.2，我们 称这种保费为先验保费，或集体保费。
3.信度理论
信度理论就是研究如何合理利用先验信息和个体理赔 经验来进行估计，预测及制定后验保费。后验保费估 计可以下面公式来表示：
后验估计值＝z×经验值＋（1－z）×先验值 其中z（0≤z≤1）称为信度因子，后验保费估计值称为 信度保费。只有正确地选择信度因子z，才能保证调 整后的保险费接近于真实的风险水平。
所需的最小总观察值。
注：在一般情况下， , 是不可知的，
通常用估计值来代替。
经验费率厘定就是非寿险精算中用于消除风险子 集的非同质性而发展起来的一类方法。
这些方法主要包括两大类：
（1）一类是在保险年度开始前，根据被保险人 最近几个保险年度的理赔经验确定下一个保险年 度的续期保费。
（2）另一类是在保险年度末，根据被保险人当 年的理赔经验来调整他在当年已经交纳的保险费。
一、信度与保费
X n1( X1 L X n )
表示投保人或保单组合的损失经验。
M表示先验获得的 的估计值，M通常称为手册保费。
问题：如何确定 的值？
方法一：忽略过去的经验数据，直接令 ＝M。
方法二：忽略M，直接使用经验数据，即令 X .
方法三：取M和 X 的加权值。
z X (1 z) M
二、完全可信
2.信度的产生
例：在劳工补偿保险中，根据近期经验，某 工匠应该收取5美元的保费；另一方面通过对 同类劳工保险调查显示，应收取保费10美元， 问明年该工匠的保费应收取多少？
例：近五年，每个司机发生事故的频率为0.2/年， 某个司机发生的频率为0.6/年，问该司机在来年 发生事故的频率是多少？
保险公司在对某个投保人进行经验费率厘定时， 必须考虑区别该投保人的风险水平与风险子集平 均水平的差别中有多少是由于随机波动所引起的， 有多少是由于投保人真的优于或劣于风险子集平 均水平而引起的。换句话说，投保人的自身理赔 经验的可信度是多少？