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小学四年级 运算定律: 乘法运算定律 讲义

运算定律第 2 节乘法运算定律【知识梳理】1.运算定律的发现及验证在实际的计算中,当我们对一个算式进行变形的时候,如交换算式中某两个数字的位置或者给算式添上或去掉括号,这时不影响算式的结果我们就可以提炼出一个通用的运算规律,从而使计算更加简便。

我们称这样的规律为运算定律。

2.用字母表示运算定律在数学中通常用字母表示运算定律,通常用小写字母a,b,c等代表代表算式中的数字,用字母表示运算定律能够达到更直观的效果。

3.乘法交换律两个因数相乘,交换因数的位置,积不变。

用字母表示乘法交换律:如果用a、b分别代表一个因数,那么乘法交换律就可以表示为:a×b=b×a。

4.乘法结合律三个数相乘,如果后两个数相乘能使计算简便一些,就先把后两个数相乘,再与第一个数相乘积不变。

用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)5.乘法分配律两个数的和与一个数相乘,可以先把他们与这个数分别相乘再相加。

用字母表示为:(a+b)×c=a×c+b×c当我们遇到求两个积的和,而这两个积中正好有相同的因数时,我们就可以运用乘法分配律,用相同的因数乘其他两个数的和。

【诊断自测】一、乘法交换律和乘法结合律1.填空(1)4×25=25×4,也就是说交换两个因数的位置后,积(),这叫(),可以用字母表示为()(2)(25×5)×2=()、25×(5×2)=(),所以(25×5)×2=25×(5×2),像这样三个数连乘时先把前两个数相乘,或者先乘后两个数积不变这叫乘法( ),用字母表示为()。

(3)交换两个因数的位置()不变,这叫乘法(),用字母表示为()。

(4)三个数相乘时,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变,这叫做乘法(),用字母表示为()。

2.根据乘法运算定律在,里填入适当的数。

(1) 15×16=16×(2) 25×7×4= ××7(3)(60×25)× =60×(×8)(4) 125×(8×)=(125×)×14(5) 3×4×8×5=(3×4)×(×)3.应用题学校有教学楼4层,每层有7间教室,每间教室要配25套双人桌椅,学校一共需要购进多少套双人桌椅?二、乘法分配率1.用竖式计算105×24 28×35 108×152.观察算式并填空(4+2)×25 4×25+2×25=6×25 =100+50=150 =50计算后发现:(4+2)×25和4×25+2×25的结果是(),也就是说两个数的和与一个数相乘,可以先把他们与这个数分别相乘,再把结果相(),这叫乘法分配律,用字母可以表示为()。

3.判断正误,正确画“√”,错误画“×”56×(19+28)=56×19+28 ()32×(7×3)=32×7+32×3 ()64×64+36×64=(64+36)×64 ()4.用乘法分配律计算16×27+73×16 47×15+33×15【考点突破】类型一: 加法交换律例1.同学们参加植树活动,参加植树的一共25个小组,每个小组中4人负责挖坑种树,负责挖坑种树的一共多少人?答案:25×4=100(人) 或 4×25=100(人)解析:根据已知条件有25个小组,每个小组里有4人挖坑种树,求负责挖坑种树的一共多少人,也就是求25个4是多少,用乘法计算,列式可发现25×4=4×25,交换因数的位置乘积不变,这是乘法交换律。

例2.计算4×123×25答案:4×123×25=4×25×123=100×123=12300解析:如果我们按照四则混合运算的运算顺序去计算这道题,是比较麻烦的,不妨认真观察一下这道题中的数字的特点,会发现 4和25相乘是100,这样就会使我们的计算变得简便许多,所以我们可以利用乘法交换律交换123和25的位置,先计算4×25再乘123.类型二:乘法结合律例3.同学们参加植树活动,参加植树的一共有25个小组,每组要种5棵树,每棵树要浇2桶水。

一共要浇多少桶水?答案:解法一:25×5×2=125×2=250(桶)答:一共要浇250桶水。

解法二:25×(5×2)=25×10=250(桶)答:一共要浇250桶水。

解析:如果是先求一共植多少棵树在求一共浇多少桶水,则选用方法一,25×5=125(棵),125×2=250(桶);如果是先求每组要浇多少桶水,再求一共要浇多少桶水,则选用方法二,5×2=10(桶),25×10=250(桶)。

相比之下,方法二比方法一计算要简便一些。

例4.计算4×6×25×7=4×25×6×7=(4×25)×(6×7)=100×42=4200类型三:乘法分配律例5.同学们参加植树活动,一共25个小组,每组里4个人负责挖坑种树,2个人负责抬水浇树,一共有多少名同学参加了这次植树活动?答案:解法一:(4+2)×25=6×25=150(人)答:一共150人参加了此次植树活动。

解法二:4×25+2×25=100+50=150(人)答:一共有150人参加了此次植树活动。

解析:如果先求出每组多少人再求出植树活动的总人数,可选用第一种方法,4+2=6(人),6×25=150(人)。

如果先求出挖坑种树的有多少人,再求出抬水浇树的有多少人,最后求出总人数,则选用第二种方法,4×25=100(人),2×25=50(人),100+50=150(人)。

相比之下,第二种方法的计算比较简便。

例6.计算36×68+68×64 25×(4+40)答案:36×68+68×64 25×(4+40)=(36+64)×68 =25×4+25×40=100×68 =100=1000=6800 =1100解析:在计算之前首先要观察题目的特点,然后运用运算律达到简便运算的目的。

第一题中,68是相同的因数,36和64相加能凑整百,所用乘法分配律将原式写为“(36+64)×68”在第二题中,40×25和4×25都能凑出整百整千,所以利用乘法分配律将原式改写为“25×4+25×40”类型四:运算律的综合运用及知识延伸例7.计算86×18+12×21答案:86×18+12×21=86×18+6×2×3×7=86×18+(6×3)×(2×7)=86×18+18×14=18×(86+14)=18×100=1800解析:把12分解成2×6,把21分解成3×7,利用结合律得到14×18,这样就出现了相同因数,再利用分配律求解。

例8.计算56×54 36×76答案:56×54=(5+1)×5×100+6×4=302436×76=(7×3+6)×100+6×6=2736解析:观察算式“56×54”不难发现,在这个两位数乘以两位数的算式中,56和54的十位上的数字都是5,个位上的数字虽然不同, 但是相加得10,我们把这种情况叫做“头同尾合十”,通常情况下,这样的算式的计算技巧是,用十位数字乘以它加一的和,如5×(5+1)=30,让“30”站千位和百位;用个位上的数字相乘,如“6×4=24”,让“24”占十位和个位,这样得数就是“3024”。

观察算式“36×76”不难发现,在这个算式中,36和76两个数个位数字相同,十位数字相加得十,这就是“尾同头合十”的情况,这种情况下,用十位数字相乘再加上各位数字,得数占千位和百位,如“7×3+6=27”,“27”占得数的千位和百位;用个位数的平方占得数的个位和十位,如“6×6=36”,“36”占得数的个位和十位,所以得数为“2736”。

例9.老师让同学们做游戏,四个同学每人一个数字卡,四个数字的乘积是100000,你知道赵冬拿的数字卡片是多少吗?李华张兵赵冬杨兰答案:25×4=100答:赵冬拿的数字卡片上的数字是4.解析:在已知的三个数中,125×8=1000,则剩下的25应该和一个数相乘得100,这样才能够得到1000×100=100000。

例10.在 里填上适当的数 167×2+167×3+167×5=167×28×225-2×225-6×225= ×225 39×8+6×39-39×4= × 答案:167×2+167×3+167×5=167× 10 28×225-2×225-6×225= 20 ×225 39×8+6×39-39×4= 39 × 10解析:乘法分配律不仅可以表示两个数之和与一个数相乘,还可以表示多个数的和或差与一个数相乘,其字母表示可以拓展为:a ×b ±a ×c ±a ×d=a ×(b ±c ±d ),题中左边的式子可以转化为167×(2+3+5)、(28-2-6)×225、39×(8+6-4)。

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