2021届中考数学压轴题提升训练：圆中证明及存在性问题【含答案】【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形；（3）当AB=时，四边形ACBF为正方形.EFADC B【分析】（1）由EF∥AB，得∠EF A=∠F AB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB2AC2.【解析】解：（1）∵EF∥AB，∴∠EF A=∠F AB，∠CAB=∠AEF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）；（2）如图，连接FC，EFADB∵四边形ADFE是菱形，∴AE=EF=FD=AD，∵CE=2AE，∠CFE=90°，∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，∵EF∥AB，∴∠AEF=∠CAB=60°，故答案为：60°；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB2AC2.【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；（2）填空：①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；②当DA与⊙O相切时，若AB2，则AC的长为．【答案】（1）见解析；（2）12；1.【解析】解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB＝2，∴OA＝1，设△AOE的边OA上的高为x，∴S△AOE＝12OA×h＝12 h，要使S△AOE最大，需h最大，点E在⊙O上，h最大是半径，即：h最大＝1∴S△AOE最大为：12；②如图所示，当DA与⊙O相切时，则∠DAB＝90°，∵AD＝AB2，∴∠ABD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AC＝BC 2AB=1.【例2】.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）①当∠C= °时，四边形AODF为矩形；②当tanC= 时，AC=3AE．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）45°，理由如下：由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，∴∠B=45°，∴∠C=∠B=45°，故答案为：45°；（32，理由如下，连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB =AC ，AC =3AE ，∴AB =3AE ，CE =4AE ， ∴BE 2=AB 2－AE 2 =8AE 2， 即BE =22， 在Rt △BEC 中，tanC =22242BE CE CE CE == 2 【变式2-1】.如图，在△ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB =12∠A ，连接DE ，OE ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线．（2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形OBDE 是菱形； ②当∠BAC =45°时，△CDE 的面积为_________．【答案】（1）见解析；（2）30；222. 【解析】解：（1）连接OD ，∵OB =OD , ∠PDB =12∠A ， ∴∠ODB =∠ABD =90°－12∠A =90°－∠PDB ，∴∠ODB +∠PDB =90°， ∴∠ODP =90°，AB CDOE∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线.（2）①30°，理由如下：∠P=30°，则∠BOD=60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠ADP=30°，∠A=60°，∴△AOE是等边三角形，即∠AOE=60°，∴∠EOD=60°，∴△ODE是等边三角形，∴OB=BD=DE=OE，即四边形OBDE是菱形；②连接BE，AD，如上图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，∵AB=AC，∴D为BC中点，∴S△DCE=12S△BCE，∵∠BAC=45°，∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，∵AB=AC=4，∴AE=BE=22CE=4-22∴S△DCE=12S△BCE，=12×12BE·CE=12×12×22（4-22=222.【例3】.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．（1）求证：AC2=AD·AB．（2）点E是∠ACB所对的弧上的一个动点（不包括A，B两点），连接EC交直径AB于点F，∠DAP=64°．①当∠ECB= °时，△PCF为等腰三角形；②当∠ECB= °时，四边形ACBE为矩形．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠CAD，∵OA=OC，∴∠ACO =∠CAO，∴∠CAD=∠CAO，∵AB为直径，∴∠ACB=∠D=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB,即：AC2=AD·AB．（2）①45；②58，理由如下：①∵∠DAP=64°，∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，∵∠CFP是△ACF的外角，∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,∴∠CFP=77°，∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，故答案为：45；②由ACBE是矩形，得F与O重合，∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，故答案为：58.【变式3-1】.如图，△ABC内接于△O，过点B的切线BE△AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接P A，PB，PC，PB交AC于D．（1）求证：PB平分△APC；（2）当PD=3，PB=4 时，求AB的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OB，则OB△BE，△BE△AC，△OB△AC，△弧AB=弧BC，△△APB=△BPC，△PB平分△APC；（2）由（1）知，△APB=△BPC，△△BAC=△BPC，△△BAC=△APB，△△ABD=△PBA，△△ABD△△PBA，△AB BD PB AB=,即1 4ABAB=△AB=2，即AB的长为2.1..如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，以AC为直径的△O与AB交于点D，过D作△O的切线交CB于E.（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，△AC为直径，△ACB=90°，△BC为△O的切线，△DE是△O的切线，△DE=CE，△ODE=90°，△△ODA+△EDB=90°，△OA=OD，△△OAD=△ODA，△△OAD+△B=90°，△△B=△EDB，△DE=BE，△EB=EC；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：△四边形ODEC是正方形，△△DEB=90°，由（1）知CE=BE，△△BED是等腰直角三角形，△B=45°，△△A=45°，即AC=BC，又△△ACB=90°，△△ABC是等腰直角三角形.2..如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为.【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.【解析】（1）连接OD，BD，∵AB为直径，∴∠BDC=∠ADB=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BE=CE，∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE=90°，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线.（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，∴∠A=∠CDE，∵∠CDE=∠C，∴∠A=∠C，∵∠ABC =90°，∴∠A =45°；②由∠A =45°，得∠ADO =45°，即∠DOB =90°，∵∠EBO =∠ODE =90°，∴四边形OBED 是矩形，∵四边形AOED 是平行四边形，∴∠EOB =∠A =45°，∴∠EOB =∠OEB =45°，∴OB =BE ，∴四边形OBED 是正方形.3..如图，在Rt △ABC 中，△B =90°，AB =6，CD 平分△ACB 交AB 于点D ，点O 在AC 上，以CO 为半径的圆经过点D ，AE 切△O 于E ．（1）求证：AD =AE ．（2）填空：△当△ACB =_______时，四边形ADOE 是正方形；△当BC =__________时，四边形ADCE 是菱形．【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：连接OE ，△CD 平分△ACB ，△△OCD =△BCD ， ECO△OC=OD，△△OCD=△ODC，△△ODC=△BCD，△OD△BC，△△B=90°，△△ADO=90°，△AD是圆O的切线，△AE是圆O的切线，△AD=AE.（2）△45；3△△ADOE是正方形，△OD=AD，△△OAD=45°，△△ACB=45°；△四边形ADCE为菱形，△AD=CD，△CAD=△ACD，△△BCD=△ACD，△△CDB=60°，△BCD=30°，△CD=2BD，△AB=6，△BD=2，BC3,故答案为：45；34..如图，AB是△O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD△OA交弦AB于点E，交△O于点F，且CE=CB （1）求证：BC是△O的切线；（2）连接AF，BF，求△ABF的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连结OB，△CE=CB，△△CBE=△CEB，△CD△OA，△△DAE+△AED=90°，△△CEB=△AED，△△DAE+△CBE=90°，△OA=OB，△△OAB=△OBA，△△OBA+△CBE=90°，即△OBC=90°，△BC是△O的切线；（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）△DF△OA，AD=OD，△F A=FO，△OF=OA，△△OAF为等边三角形，△△AOF=60°，△△ABF=12△AOF=30°．5..如图，在△ACE中，AC＝CE，△O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．求证：△CDE△△ABC．【答案】见解析.【解析】证明：连接DF，△AC＝CE，△△CAE＝△E，△四边形ACFD内接于△O，△△CAE+△CFD=180°，△△CFD+△DFE=180°，△△CAE＝△DFE，△△DFE＝△E，△DF＝DE，△弧BC=弧DF，△BC＝DF，△BC＝DE，△四边形ABCD内接于△O，同理可得：△B＝△CDE，在△CDE和△ABC中，△AC=CE，△ABC=△CDE，BC=DE，△△CDE△△ABC．6..如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC△AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：△当△BOP＝时，四边形AOCP是菱形；△连接BP，当△ABP＝时，PC是△O的切线．【答案】（1）见解析；（2）120；45．【解析】（1）证明：△PC△AB，△△PCM＝△OAM，△CPM＝△AOM．△点M是OP的中点，△OM＝PM，△△CPM△△AOM，△PC＝OA．△OA＝OB，△PC＝OB．△PC△AB，△四边形OBCP是平行四边形．（2）解：△△四边形AOCP是菱形，△OA＝P A，△OA＝OP，△OA＝OP＝P A，△△AOP是等边三角形，△△A＝△AOP＝60°，△△BOP＝120°；△△PC是△O的切线，△OP△PC，△OPC＝90°，△PC△AB，△△BOP＝90°，△OP＝OB，△△ABP＝△OPB＝45°.7..如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC△DE；（2）连接AD、CD、OC．填空△当△OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；△当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．【答案】（1）见解析；（2）30；3．【解析】（1）证明：△F为弦AC的中点，△AF＝CF，OF过圆心O△FO△AC，即△OF A=90°，△DE是△O切线，△OD△DE即△EDO=90°，△DE△AC.（2）△当△OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：连接CD，AD，OC，△△OAC＝30°，OF△AC△△AOF＝60°△AO＝DO，△AOF＝60°△△ADO是等边三角形△AF△DO△DF＝FO，AF＝CF，△四边形AOCD是平行四边形△AO＝CO△四边形AOCD是菱形.△连接CD，△AC△DE, OA=AE=2，△OD＝2OF，DE＝2AF△AC＝2AF，△DE＝AC，且DE△AC△四边形ACDE是平行四边形△OA＝AE＝OD＝2△OF＝DF＝1，OE＝4在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝3，△S四边形ACDE＝DE×DF＝3＝3答案为：38..如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作△O，△O 恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是△O的切线．（2）若AB3E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．填空：△当弧AE的长度是时，四边形ABDE是菱形；△当弧AE的长度是时，△ADE是直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）23π；3π或π．【解析】（1）证明：连接OD，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，△AB＝12 BC，△D是斜边BC的中点，△BD＝12 BC，△AB＝BD，△△BAD＝△BDA，△OA＝OD，△△OAD＝△ODA，△△ODB＝△BAO＝90°，即OD△BC，△BD是△O的切线．（2）△若四边形ABDE是菱形，连接OE，则AB△DE，△△BAC=90°，△DE△AC，得：AD＝BD＝AB＝CD＝12BC3△△ABD是等边三角形，OD＝1，△△ADB＝60°，△△CDE＝60°，△△ADE＝180°﹣△ADB﹣△CDE＝60°，△△AOE＝2△ADE＝120°，△弧AE的长度为：1201180π⨯=23π；故答案为：23π；△△AD为弦（不是直径），△△AED≠90°，（i）若△ADE＝90°，则点E与点F重合，弧AE的长度为：1801180π⨯＝π；（ii）若△DAE＝90°，则DE是直径，则△AOE＝2△ADO＝60°，弧AE的长度为：601180π⨯=13π；故答案为：13π或π．9..如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作△A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交△A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC△△ABF；（2）填空：△当△CAB＝°时，四边形ADFE为菱形；△在△的条件下，BC＝cm时，四边形ADFE的面积是32．【答案】（1）见解析；（2）△60；△6．【解析】（1）证明：△EF △AB ，△△E ＝△CAB ，△EF A ＝△F AB ，△AE =AF ，△△E ＝△EF A ，△△F AB ＝△CAB ，又△AF =CA ，AB =AB ，△△ABC △△ABF ；（2）△当△CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．由△CAB ＝60°，得△F AD ＝△EAF ＝60°，△EF ＝AD ＝AE =DF ，△四边形ADFE 是菱形．△△四边形AEFD 是菱形，△AEF ＝△CAB ＝60°， 2363AE = △AE ＝23△AC =23△BC 3=6.10..如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，以直角边BC 为直径作△O ，交AB 于点D ，E 为AC 的中点，连接DE .（1）求证：DE 为△O 的切线；（2）已知BC ＝4．填空：△当DE ＝ 时，四边形DOCE 为正方形；△当DE ＝ 时，△BOD 为等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）2；2 3.【解析】（1）证明：连接CD，OE，△BC为△O的直径，△△BDC＝90°，△DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，△DE=CE=AE，△OD＝CC，OE＝OE，△△COE△△DOE，△△OCE＝△ODE＝90°，即DE为△O的切线；（2）解：△若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，△BC＝4，△DE＝2．△若△BOD为等边三角形，则△BOD＝60°，△△COD＝180°﹣△BOD＝120°，△DOE＝60°，△DE33故答案为：2，311..如图，△O是△ABC的外接圆，AB为直径，△BAC的平分线交△O于点D，过点D作DE△AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是△O的切线．（2）△当△BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；△若△O的半径为5，AC=3CE，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）60；8.【解析】（1）连接OD，△OA＝OD，△△OAD＝△ODA，△AD平分△EAF，△△DAE＝△DAO，△△DAE＝△ADO，△OD△AE，△AE△EF，△OD△EF，△EF是△O的切线；（2）连接CD，△当△BAC=60°时，四边形ACDO为菱形；△△BAC＝60°，△△AOD＝120°，△OA＝OD，△△OAD＝△ODA＝30°，△CAD＝30°，△OD△AE，△△OAD＝△ADC＝30°，△CAO＝△ADC＝30°，△AC＝CD，△AD＝AD，△△ACD△△AOD，△AC＝AO，△AC＝AO＝CD＝OD，△四边形ACDO为菱形；②设OD与BC交于G，△AB为直径，△△ACB＝90°，△DE△AC，可得四边形CEDG是矩形，△DG＝CE，△AC＝3CE，△OG＝12AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5，△CE＝2，AC＝6，△AB＝10，由勾股定理得：BC＝8．。