专题40 存在性问题☞解读考点1．BC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．【答案】（1）AB=B E；（2）BD=．试题解析：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF，∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF，在△BDE与△AFE中，∵∠DEB=∠AEF，∠BDE=∠AFE，∴△BDE∽△AFE，∴BD DEAF FE=，在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴BDm==，∴BD=．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．探究型；3．存在型；4．综合题；5．压轴题．2．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为cbxax++=2y．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ，使PM=21EA ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D （54m ，m ）；（2）25252612y x x =-++；（3）P （85，165）或（910，165）．试题解析：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m ，DF=DB ，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE ，∠CED=∠AED ，设CD=x ，则DF=DB=2m ﹣x ，根据勾股定理得：222CF DF CD +=，即222(2)m m x x +-=，解得：x=54m ，∴点D 的坐标为：（54m，m ）；（2）∵四边形OABC 是矩形，∴OA=2m ，OA ∥BC ，∴∠CDE=∠AED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD=54m ，∴AE=CE=54m ，∴OE=OA ﹣AE=34m ，∵OA ∥BC ，∴△OEG ∽△CDG ，∴OE OG CD CG =，即334534mm m =+，解得：m=2，∴C （0，2），D （52，2），作FH ⊥CD 于H ，如图1所示：则∠FHC=90°=∠DFC ，∵∠FCH=∠FCD ，∴△FCH ∽△DCF ，∴24552FH CH CF DF CF CD ====，即43252FH CH ==，∴FH=65，CH=85，625+=165，∴F （85，165），把点C （0，2），D （，2），F （85，165）代入c bx ax ++=2y 得：22552242648162555c a b a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：56a =-，2512b =，2c =，∴抛物线的解析式为：25252612y x x =-++；考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．矩形的性质；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题；6．压轴题． 3．，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： ；（2）如图2，将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=12ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）①成立；②存在，45°或225°．（2）①成立，理由如下：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED，∴∠CAD=45°，或360°﹣90°﹣45°=225°，∴角α的度数是45°或225°．考点：1．几何变换综合题；2．旋转的性质；3．平行四边形的性质；4．探究型；5．存在型；6．综合题；7．压轴题．4．（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=++交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2312355y x x=-++；（2）1；（3）①12；②G（4，32-）或（4，6）．②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l 于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为132y x=-+，设直线DG1的解析式为12y x m=-+，设直线DG2的解析式为2y x n=+，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．试题解析：（1）如图1，∵抛物线23y ax bx=++交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴3025530a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：35125ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为2312355y x x=-++；（3）①如图3，连接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF=24EFCF==12，∴tan∠FDE=12；②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为132y x=-+，设直线DG1的解析式为12y x m=-+，∵D（1，0），∴1012m=-⨯+，解得m=12，∴直线DG1的解析式为1122y x=-+，当x=4时，11422y=-⨯+=32-，∴G1（4，32-）；设直线DG2的解析式为2y x n=+，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线DG2的解析式为22y x=-，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，32-）或（4，6）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．旋转的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．5．图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足28(6)0OA OB-+-=，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）443y x=--；（3）存在，P（－3，10）或P（3，2）．试题解析：（1）∵28(6)0OA OB-+-=，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，；（2）在△OBC 和△DBC 中，∵∠OBC=∠DBC ，BC=BC ，∠BOC=∠BDC ，∴△OBC ≌△DBC ，∴OC=CD ，设OC=x ，则AC=8﹣x ，CD=x ．∵△ACD 和△ABO 中，∠CAD=∠BAO ，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD ∽△AOB ，∴AC CD AB OB =，即8106x x-=，解得：x=3．即OC=3，则C 的坐标是（﹣3，0）．设AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得：680b k b =⎧⎨-+=⎩，解得：346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式是364y x =+，设CD 的解析式是43y x m=-+，则40m +=，则4m =-，则直线CE 的解析式是443y x =--；（3）设直线BC 的解析式是y nx d =+，则：630d n d =⎧⎨-+=⎩，解得：26n d =⎧⎨=⎩，则直线BC 的解析式是26y x =+；设经过A 且与AB 垂直的直线的解析式是43y x e =-+，则4(8)03e -⨯-+=，解得：323e =-，则过A 且与AB 垂直的直线的解析式是43233y x =--． 根据题意得：4323326y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，解得：54x y =-⎧⎨=-⎩，则M 的坐标是（5-，4-）．考点：1．一次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．探究型；5．存在型；6．压轴题．6．抛物线cbxxy+-=2交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y x x=-+；（2）存在，P（2，1）．（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），243y x x=-+与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴⎩⎨⎧=+=033b k b ，解得：⎩⎨⎧-==13k b ，∴直线BC 的解析式为：3+-=x y ，则直线BC 与x=2的交点坐标为：（2，1），∴点P 的交点坐标为：（2，1）．考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．轴对称-最短路线问题；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．综合题．7．所示，已知抛物线245y x x =-++的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上．（1）直接写出D 点和E 点的坐标；（2）点F 为直线C′E 与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E 交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，ΔHGF ΔBGF :S S =5：6？（3）图2所示的抛物线是由245y x x =-++向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）D （2，9），E （2，3）；（2）1m =，2m =；（3）（1，1）或（3，3）或（2，2）．（3）分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q 的坐标即可．（2）如图1所示：令抛物线245y x x =-++的y=0得：2450x x -++=，解得：11x =-，25x =，所以点A （﹣1，0），B （5，0）．设直线C′E 的解析式是y kx b =+，将E （2，3），C′（0，1），代入得123b k b =⎧⎨+=⎩，解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴直线C′E 的解析式为1y x =+，联立得：2145y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：45x y =⎧⎨=⎩，或10x y =-⎧⎨=⎩，∴点F 得坐标为（4，5），点A （﹣1，0）在直线C′E 上．∵直线C′E 的解析式为1y x =+，∴∠FAB=45°．过点B 、H 分别作BN ⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．∴∠HMN=90°，∠ADN=90°，又∵∠NAD=∠HNM=45°，∴△HGM∽△ABN，∴HG HMAB BN=，∵ΔHGFΔBGF:S S=5：6，∴56HMBN=．∴56HGAB=，即566HG=，∴HG=5．设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为245m m-++，则点G的坐标为（m，m+1），∴245(1)5m m m-++-+=．解得：1m=，2m=；将y=5代入抛物线26y x x=-+得：2650x x-+=，解得：11x=，25x=．∴点P的坐标为（1，5）．将x=1代入y x=得：y=1，∴点Q的坐标为（1，1）；②如图3所示：由①可知：点P的坐标为（1，5）．∵△PTQ为等腰直角三角形，∴点Q的横坐标为3，将x=3代入y x=得；y=3，∴点Q得坐标为（3，3）；③如图4所示：考点：1．二次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．二次函数图象与几何变换；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．8．在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；（2）设经过A、B两点的抛物线解析式为21(5)4y x k=-+，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）证明见试题解析；（3）P（5，4），或（5），或（5，4）．【解析】试题分析：（1）连接MC、MA，由切线的性质得出MC⊥y轴，MC=MA=5，OC=MD=4，得出点C的坐标；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出点A、B的坐标；（2）把点A（2，0）代入抛物线得出k的值，得出顶点E的坐标，得出DE、ME，由勾股定理得出2EA 的值，证出222MA EA ME +=，由勾股定理的逆定理证出∠MAE=90°，即可得出EA 与⊙M 相切；（3）由勾股定理求出BC ，分三种情况：①当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合，容易得出点P 的坐标；②当BP=BC=时，由勾股定理求出PD ，即可得出点P 的坐标；③当PC=BC=PM ，得出PD ，即可得出点P 的坐标．试题解析：（1）连接MC 、MA ，如图1所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA=DB ，∠MDA=90°，∴，∴BD=3，∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8，∴A （2，0），B （8，0），故答案为：2，0；8，0；0，4；（3）存在；点P 坐标为（5，4），或（5），或（5，4）；理由如下：由勾股定理得：①当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合，∴P （5，4）；②当BP=BC=2所示：∵，∴P （5；③当PC=BC=MC ，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PD=4，∴P （5，4；综上所述：存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标为（5，4），或（5），或（5，4．考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．分类讨论；4．压轴题．9．已知抛物线212y x bx c=-++与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21382y x x=-++；（2）2152S t t=-+，当t=5时，S最大=252；（3）存在，P（343，2009-）或P（8，0）或P（43，1009）．【解析】试题分析：（1）将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式；（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：215 2S t t=-+，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=25 2；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=252，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P 的坐标．∴直线CD的解析式为：553y x=-+，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=12CD•EG=252，∴EG=，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=34，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（343，2009-）或P（8，0）或P（43，1009）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．分类讨论；7．压轴题．10．，抛物线223y x x=-++与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．（1）写出D的坐标和直线l的解析式；（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）D（1，4），334y x=-+；（2）S=292x x-+（13x≤≤），S最大值为8116；（3）Q的坐标为（32，0）或（4，0）．（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，334t-+），N（t，223t t-++），利用两点间的距离公式得到MN=2114t t-，CM=54t，然后证明NM=CM得到2114t t-=54t，再解方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．试题解析：（1）∵223y x x=-++=2(1)4x--+，∴D（1，4），在223y x x=-++中，当x=0时，y=3，则C（0，3），设直线l的解析式为y kx b=+，把C（0，3），E（4，0）分别代入得：403k bb+=⎧⎨=⎩，解得：343kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的解析式为334y x=-+；（3）存在．如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，334t-+），N（t，223t t-++），∴MN=2323(3)4t t t-++--+=2114t t-，=54t，∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，而QN∥y轴，∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴∠M′CN=∠CNM′，∴CM′=NM′，∴NM=CM，∴2114t t-=54t，当2114t t-=54t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；当2114t t-=54t-，解得t1=0（舍去），t2=32，此时Q点坐标为（32，0），综上所述，点Q的坐标为（32，0）或（4，0）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分类讨论；5．存在型；6．压轴题．11．2y x bx c=++经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？【答案】（1）（1，0），（2，0）；（2）D（4，0）或（5，0）；（3）7 2．试题解析：（1）抛物线2y x bx c=++经过A（0，2），B（3，2）两点，∴2293cb c=⎧⎨=++⎩，解得：32bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：232y x x=-+，令y=0，则2320x x-+=，解得：11x=，22x=，∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；（3）设t秒钟时，B．D、E在同一条直线上，则OE=t，OD=2t，∴E（0，t），D（2t，0），设直线BD的解析式为：y kx b=+，∴2302t bk btk b=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得12k=-或43k=（不合题意舍去），∴当12k=-，t=72，∴点D、E运动72秒钟时，B、D、E在同一条直线上．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．存在型；5．压轴题．12．已知抛物线2y x bx c=-++与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x=--+；（2）C（﹣1，4）；（3）（﹣1，4）或（﹣2，3）或（32-，）或（，）．【解析】试题分析：（1）把点A，B两点的坐标分别代入抛物线解析式，求出b和c的值即可；（2）过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，求出点C的横坐标，再求出OE的长，即可得到点C的纵坐标；（2）如图1：过点B 作CB ⊥AB ，交抛物线的对称轴于点C ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为点E ，∵223y x x =--+，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴CE=1，∵AO=BO=1，∴∠ABO=45°，∴∠CBE=45°，∴BE=CE=1，∴OE=OB+BE=4，∴点C 的坐标为（﹣1，4）；（3）假设在在抛物线上存在点P ，使得△APB 的面积等于3，如图2：连接PA ，PB ，过P作PD ⊥AB 于点D ，作PF ∥y 轴交AB 于点F ，在Rt △OAB 中，易求∵S △APB=3，∴，∵∠PFD=∠ABO=45°，∴PF=，设点P 的坐标为（m ，223m m --+），∵A （﹣3，0），B （0，3），∴直线AB 的解析式为3y x =+，∴可设点F 的坐标为（m ，m+3），①当点P 在直线AB 上方时，可得：22332m m m --+=++，解得：m=﹣1或﹣2，∴符合条件的点P 坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴的一个交点为A （﹣2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 442=-++；（2坐标为（6，4）或（34）或（34）；（3）点P 的坐标为（4）或（4，）或（1-+8-+）或（1-8--．②如答图2，M 点在N 右下方，即N 向下平行4个单位，向右2个单位与M 重合．设M （x ，213x x 442-++），则N （x ﹣2，213x x 842-++），∵N 在x 轴上，∴213x x 842-++=0，解得 x=3x=3+∴xM=33∴M （3﹣4）或（3+﹣4）综上所述，M的坐标为（6，4）或（34）或（34）．考点：二次函数综合题；线动平移问题；待定系数法的应用；平行四边形的性质；全等三角形的性质2．已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【试题分析】（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴联立，得2y 2x 1y 2x 1⎧=-+⎨=-+⎩，解得x 0y 1=⎧⎨=⎩，或x 1y 1=⎧⎨=-⎩．∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）． 设原抛物线为y=a （x ﹣1）2﹣1，∵y=a （x ﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a （0﹣1）2﹣1，解得 a=2．∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM 为直角三角形．考点：1．二次函数和一次函数综合问题；2．单动点、线动旋转和平移问题；3．二次函数的性质；4．勾股定理；5．分类思想的应用．3．图，直线AB 的解析式为y=2x+4，交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，以A 为顶点的抛物线交直线AB 于点D ，交y 轴负半轴于点C （0，﹣4）． （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF 与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+2）2；（2）①（12-，3）；②S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2．∵点C（0，﹣4）在抛物线上，∴﹣4=4a，解得a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点．∴△BAO∽△BFE．∴OA OBEF BE=，即24EF BE=，可得：BE=2EF．如答图1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．∴m=12-．∴E（12-，3）．②假设存在．联立抛物线y=﹣（x+2）2与直线y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=12×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．如答图2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=12BF•|xG|﹣12BF|xE|=12BF•（|xG|﹣|xE|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．考点：1．二次函数综合题；2．线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．一点的坐标与方程的关系；5．二次函数的性质；6．相似三角形的性质；7．解一元二次方程；8．分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．4．物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）（3）不存在，理由详见解析（3）不存在．理由：如答图2，设点E（x，y），则S△ADE=12y；①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE=4+|y|，∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4，∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解；②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE=2+|y|，∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2，∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解。