自然环境和工程装置中的流动常常是湍流流动，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身又是流体力学理论上的难题。

对湍流最根本的模拟方法是在湍流尺度的网格尺寸内求解瞬态的三维N-S 方程的全模拟方法，此时无需引进任何模型。

然而由于计算方法及计算机运算水平的限制，该种方法不易实现。

另一种要求稍低的方法是亚网格尺寸度模拟即大涡模拟（LES ），也是由N-S 方程出发，其网格尺寸比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节，但由于计算量仍然很大，只能模拟一些简单的情况，直接应用于实际的工程问题也存在很多问值题[1]。

目前数模拟主要有三种方法：1.平均N-S 方程的求解，2.大涡模拟（LES ），3.直接数值模拟（DNS ），而模拟的前提是建立合适的湍流模型。

2、基本湍流模型常用的湍流模型有： 零方程模型：C-S 模型，由Cebeci-Smith 给出；B-L 模型，由Baldwin-Lomax 给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Launder 提出的标准k-e 模型，以及k-omega 模型。

2.1 零方程模型上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl 的混合长度理论、Taylor 的涡量输运理论、von Karman 的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。

零方程模型直接建立雷诺应力与平均速度之间的代数关系，由于不涉及代数关系故称为另方程模型：''m u u v yρρε∂-=∂ 其中m ε称为涡粘系数，他与分子的运动粘性系数ν有相同的量级。

对于一般的三维的情况，上式可写为：''223i j m ij ij u v S K ρεδ-=- K 为单位质量的湍流脉动动能。

为了发展上述方法，需要建立m ε与平均速度之间的关系。

1925年，普朗特沿这一方向做了重要工作，提出可混合长度理论，混合长度理论认为，存在这样的长度l ,在此长度内流体质点运动是自由的（不与其他质点相遇），我们把这样的l 称为混合长度[2]。

由于湍流漩涡的作用，流体微团就爱那个上下跳动，由于微团的流向速度不会立即改变，到达新位置后他会低于当地周围的平均速度，此即流向脉动速度'10()()u U y U y ≈-，显然，此速度差取决于当地的平均速度梯度U y ∂∂与微团沿y 向跳动的距离l ,即：'U u l y∂≈∂ 此l 称为混合长度，他表示这样的距离，在此距离内微团沿y 向跳动时基本不丧失其原有速度。

实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级，因此有：'U v l y∂≈∂ 所以有：''2u u u v l y yρρ∂∂-=∂∂ 由此可算出涡粘性系数为： 2m u l yε∂=∂ 由此可见，若假设l 不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例，这与实验结果是一致的。

混合长度理论已成功的用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。

目前应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax 模型[3]，该模型对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。

事实上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。

2.2 一方程模型单方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，其中B-B 模型和S-A 模型是单方程模型中的优秀代表。

特别是S-A 模型，从经验和量纲分析出发得出了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和计算准确性，目前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。

S-A湍流模型是个一方程模型。

它常被认为是B-L代数模型和两方程模型之间的桥梁。

由于其容错功能好，处理复杂流动的能力强，S-A模型已得到广泛应用。

S-A模型与B-L模型相比，其湍流涡粘场是连续的。

S-A模型优于模型之处在于其容错性好，计算量少。

该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。

方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。

S-A模型不同于其他一些单方程模型，不是从方程经过简化得到的，而是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。

该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好，同时又有较高的精度。

由于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。

另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在内，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。

2.2 两方程模型上世纪70年代，Launder发展的k-ε模型被称为标准k-ε模型，它求解湍流动能k及湍流动能耗散率ε的输运方程，能够反映一定的湍流物理量的输运特性，是两方程湍流模型的先驱性工作。

之后研究人员又发展了重整化群k-ε(RNG k-ε)模型、可实现性k-ε模型等，进一步强化k-ε系列模型的计算性能。

另外一个系列的两方程模型为-kω模型系列，其中比较有代表性的有标准-kω模型和SST-kω模型。

一般来说，k-ε模型对高Re数充分发展的湍流模拟结果较好，而-kω模型改进了k-ε模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流模拟精度较高。

k-ε模型。

在湍流模型的发展过程中逐渐形成了零方程模型、一方程模型和两方程模型，由于使用的局限性零方程模型和一方程模型很难应用于工程实际。

目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型是k-ε模型。

2.2.1 k-ε湍流模型[4]k-ε湍流模型假定涡粘系数由下式计算：这里湍动能k和粘性能量耗散率ε的输运方程分别为：式σk和σε为粘性常数(计算中常采用1.0和1.3)，C1ε、C2ε、C u为常数(计算中常采用1.44，1.92和0.09)。

2.2.2 RNG k-ε湍流模型[5, 6]RNG k-ε湍流模型由Yakhot和Orzag[7]提出。

它使用了“renormalization group”的数学方法。

它和k-ε模型很相似，但是作了以下改进：·通过修正涡粘系数，考虑了平均流动中的旋转及旋流流动情况。

·在ε方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率E ij。

这样就使RNG k-ε模型中的产生项不仅与流动情况有关，而且还是空间坐标的函数。

这些特点使RNG k-ε模型比k-ε模型在处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动中有更高的可信度和精度。

RNG k-ε湍流模型中k的输运方程仍为上述方程，但其ε的输运方程则在上述方程的基础上修改如下[8]：这里S为modulus of the mean rate-of-strain tensor，β=0.012，η0 =4．38。

此外，σk，σε，C1ε，C2ε和C u的取值也不同，分别为0.719 4，0.719 4，1.42，1.68和0.084 5。

2.2.3 Realizable k-ε湍流模型[9]k-ε湍流模型对时均应变率特别大的情形有可能导致负的正应力。

为了使流动符合湍流的物理定律，需要对正应力进行某种数学约束。

为保证这种约束的实现，Shih等人认为湍流粘度计算式中的系数Cμ不应该是常数，而应该与应变率联系起来，于是提出了Realizable k-ε湍流模型。

比起k-ε模型，Realizable k-ε模型有两个主要的不同点[5]：1)模型为湍流粘性增加了一个方程，引入了与旋转和曲率有关的内容；2)模型为耗散率增加了一个新的输运方程，这个方程来源于一个为层流速度波动而作的精确方程。

Realizable k-ε湍流模型中k的输运方程仍为上述，但其ε的输运方程则在上述的基础上修改如下：这里η仍然由式(7)确定。

而k的输运方程中的Cμ不再为常数，而是由下式计算，这里为在以角速度ωk旋转的参照系之所观察到的平均rate—of-rotation tensor。

A0=4.04，A s则用下式计算，Realizable k-ε模型的k和ε的输运方程中的常数C1ε=1.44，C2=1．9，σk一1．0，σε=1.2。

2.2.3 -kω湍流模型[9]-kω湍流模型假定涡粘系数由下式计算：这里湍动能k和特殊耗散率ω的输运方程分别为：其中α=5/9，β=3/40，β*=0.09，σ=0.5，σ*=0.5，而-kω湍流模型的优势之一是对于近壁面的低雷诺数计算时性能较好。

它没有包含k-ε模型所需要的复杂的非线性阻尼函数，所以有更好的精确性和鲁棒性。

3、各种湍流模型的特点各类模型基于粗略的假设、类比、量纲分析，无可靠物理基础，需引进经验系数[10]。

1、0方程模型不能反映输运效应，计算量最小，一般适用于边界层型流动，引进各种修正可扩大适用范围；2、K方程模型特征长度不易确定，应用较少；3、ε方程模化不确定因素多，可靠性差；4、标准K－ε模型近壁需修正, 且不能模拟二次流；5、非线性K－ε模型能反映各向异性，璧面ε的仍有奇异；6、涡粘模型不能反应各向异性和松弛效应；7、二阶矩模型适用范围较广，计算量较大，模型常数的通用性仍差；8、SA（3）模型近壁无奇异性，可模拟流场变化较剧烈和曲率较大湍流，但仍具有涡粘模型特点。

多数模型不能完全满足真实性条件，需要改进。

脉动结构信息多的模型，应用面较广，但模拟的对象愈多，不确定的因素就愈多，计算量愈大。

现在还没有一个模型能满意预测所有湍流，所以，选模型时应综合考虑流动类型、计算量与精度等因素。

参考文献1. Thorelli HB. Networks: between markets and hierarchies. Strategic management journal. 2006;7(1):37-51.2. Shane S, Cable D. Network ties, reputation, and the financing of new ventures. Management Science. 2002;48(3):364-81.3. Baum JAC, Calabrese T, Silverman BS. Don't go it alone: Alliance network composition and startups' performance in Canadian biotechnology. Strategic management journal. 2000;21(3):267-94.4. Ha-Brookshire JE. Does the firm size matter on firm entrepreneurship and performance?: US apparel import intermediary case. Journal of Small Business and Enterprise Development.2009;16(1):132-46.5. Jelinek M, Litterer JA. Toward entrepreneurial organizations: Meeting ambiguity with engagement. Entrepreneurship Theory and Practice. 1995;19(3):137-68.6. Liu SS, Luo X, Shi YZ. Integrating customer orientation, corporate entrepreneurship, and learning orientation in organizations-in-transition: an empirical study. International Journal of Research in Marketing. 2002;19(4):367-82.7. Uzzi B. Social structure and competition in interfirm networks: The paradox of embeddedness. Administrative science quarterly. 1997;42(1):35-67.8. Araujo L, Easton G. Networks in socio economic systems: a critical review. Networks in marketing. 1996:63-107.9. Smith H, Thanassoulis J. Upstream Uncertainty And Countervailing Power. International Journal of Industrial Organization. 2012;30(6):483-95.10. Zahra SA. A conceptual model of entrepreneurship as firm behavior: A critique and extension. Entrepreneurship theory and practice. 1993;17(4):5-.。