4.61平方差公式（基础）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）． ①22a b --；②224a b -；③224x y --；④2291a b -+； ⑤22()()x y y x -+-；⑥41x -．【答案】②④⑥；【解析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解．③是三项式，不符合平方差公式的特点．②④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式．【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．2、分解因式：（1）229a b -； （2）22251x y -； （3）22168194a b -+； （4）214m -+． 【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解.【答案与解析】解：（1）22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-．（2）2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-．（3）2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（4）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-．【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“21”．（3）一定要把两项写成22a b -的形式，再套用平方差公式． 举一反三：【变式1】分解因式：（1）212516m -；（2）22(2)16(1)x x -++-． 【答案】解：（1）212516m -22111555444m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （2）22(2)16(1)x x -++-2216(1)(2)x x =--+[4(1)(2)][4(1)(2)]x x x x =-++--+(36)(52)3(2)(52)x x x x =--=--．【变式2】下列分解因式中，错误的是（ ）A ．24(2)1(23)(25)x x x --=-- B ．22112(2)(2)22n m n m n m -+=-+- C ．22216()9()(7)a b a b a b --+=-- D ．219(13)(13)x x x -=+- 【答案】C ；提示：()()2216()9()77a b a b a b a b --+=-- .类型二、平方差公式的应用3、对于任何整数m ，多项式2(45)81m +-都能被（ ）整除．A ．8B ．mC ．2m ＋1D ．m ＋1【思路点拨】将多项式2(45)81m +-分解因式，从结果中找出答案. 【答案】A ；【解析】22(45)9(414)(44)8(27)(1)m m m m m +-=+-=+⋅-．【总结升华】将多项式分解，看能分解成什么因式，那么就能被这些因式整除. 举一反三：【变式1】如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形)(b a >，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）A.()()22a b a b a b -=+-B. ()2222a b a ab b +=++ C. ()2222a b a ab b -=-+ D. ()()2222a b a b a ab b +-=+-【答案】A ；【变式2】用简便方法计算：（1）2199919982000-⨯；（2）2253566465⨯-⨯. 【答案】解：（1）原式()()219991999119991=--+221999199911=-+=（2）原式()226535456=⨯-()()65354655354656100070420000=⨯+-=⨯⨯=4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．【答案与解析】解：设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为(a －24)．依题可列22(24)960a a --=．运用平方差公式：[a ＋(a －24)][ a －(a －24)]＝960． 24(2a －24)＝960．解得a ＝32．a －24＝32－24＝8．答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套. 【巩固练习】 一.选择题1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是( ). A.249y - B.2149x - C.44m n -- D.()2194p q +- 2. 一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）．A ．46-bB ．64b -C ．46+bD ．46--b3. ()22a b c --有一个因式是a b c +-,则另一个因式为( )A.a b c --B.a b c ++C. a b c +-D.a b c -+4． 在一个边长为12.75cm 的正方形内挖去一个边长为7.25cm 的正方形，则剩下的面积应当是（ ） A ．220cm B ．2200cm C ．2110cm D ．211cm 5. 下列因式分解错误的是( )A.()()21161414a a a -=+- B.()321x x x x -=-C.()()222a b c a bc a bc -=+- D.224220.010.10.1933m n n m m n ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6. 下列分解因式结果正确的是（ ）A.()223633x y xy xy x y +=+ B.()()()()222233x y x y x y x y +-+=++ C.()()422111x x x -=+- D.()()3312322x x x x x -=+-二.填空题7. 分解因式：224x y -=___________，223a b -=____________.8. 利用因式分解计算：22401599-=__________，2211387-=____________.9. 分解因式：42x x -=___________，()()244b a a -+-=______________.10. 若226m n -=，且2m n -=，则m n +=_________.11. 若多项式24a M +能用平方差公式分解因式，那么单项式M ＝________.（写出一个即可） 12. 用公式简算：22200820082009+-＝________________. 三. 解答题13. 把下列各式因式分解（1）2249a b - （2）4481m n -（3）622123a a b - （4）()2231a b b b -+-.14. 已知23x y +=，22415x y -=-. (1)求2x y -的值; (2)求x 和y 的值.15. 有一根输油钢管，其外径5.5分米，内径4.5分米，长10米，你能用简单运算方法估测一下这根钢管的重量吗？（每立方分米的钢材重7.8千克，π取3.14）【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】4m -与4n -两项符号相同，不能用平方差公式分解因式. 2. 【答案】B ；【解析】33336(2)(2)(2)(2)4b b b b b +-=+-=-. 3. 【答案】D ；【解析】()()()22a b c a b c a b c --=+--+.4. 【答案】C ；【解析】()()2212.757.2512.757.2512.757.2520 5.5110-=+-=⨯=.5. 【答案】B ；【解析】()()()32111x x x x x x x -=-=+-.6. 【答案】D ；【解析】()()()()()()2222333x y x y x y x y x y x y +-+=+-=+-； ()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y +-；()()a a ；8. 【答案】－198000；5200；【解析】()()()224015994015994015991000198198000-=+-=⨯-=-； ()()22113871138711387200265200-=+-=⨯=. 9. 【答案】()()211x x x +-；()()()411a b b -+-【解析】()()()42222111x x x x x x x -=-=+-；()()()()224444ba ab a a -+-=---()()()()()241411a b a b b =--=-+-.10.【答案】3；【解析】()()()2226m n m n m n m n -=+-=+=，所以m n +=3.11.【答案】2x -； 12.【答案】－2009；【解析】()()2220082008200920082008200920082009+-=++-200840172009=-=-. 三.解答题 13.【解析】解：（1）()()22492323a b a b a b -=+-；（2）()()()()()442222228199933m n m nmn m n m n m n -=+-=++-；（3）()()()62224222212334322a a b a a b a a bab -=-=+-；（4）()()()()()()223221111a b b b a b b b b a b a b -+-=---=-+-.14.【解析】解：()()()224223215x y x y x y x y -=+-=-=-∴25x y -=-解方程组2325x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩.15.【解析】解：()22225.5 4.5100 3.1422V l R r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()314 2.75 2.25 2.75 2.2531450.5785=⨯+-=⨯⨯=钢管的重量为785×7.8＝6123千克.。