σ乙 (22 12 12 22 )/5 1.414(件)
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组(分) 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 总成
(人)f 绩xf |x－x|f
2 110
47.50
6 390
82.50
10 750
图示：
平均指标反映
f
了各变量值向中心
值聚集的程度，即
集中趋势；变异指
标反映了各变量值
远离中心值的程度
0
X 1 = X 2 X ，即离中趋势。
标志变异指标的作用：
① 是衡量平均数代表性的尺度；
变异指标越大，平均数的代表性越小， 变异指标越小，平均数的代表性越大。
② 可以用来说明现象变动过程的 稳定性和均衡性；
• 方差(σ2) ：是标准差的平方。
σ Σn (x)x2或σ ΣΣ (x)x2ff
标准差与平均差比较：
标准差是以离差的平方来消除正负号 的影响，对离差平方求平均数得方差，然 后再开方，就恢复了原来的计算单位。且 加大离差，突出了标志变异的程度。标准 差的计算还应用了最小平方原理，以算术 平均数为中心，使标准差成为反映标志变 异程度的最理想的计算方法，是实际应用 最广泛的离散程度测度值。
37.50
19 1615
118.75
3 285
48.75
40 3150
335.00
计算平均差如下：
xΣ Σxff3410507 8 . 7 5 ( 分 )
A
•
D
=
Σ|x x|f Σf
= 335/40= 8.375(分)
注：
• 离差——总体单位的标志值 与其平均数之差即 x x。
• 平均差使用绝对值是为了避 免各变量值与平均数的离差 之和等于零。
x2f
2 110 1128.13 6050
6 390 1134.38 25350
10 750 140.63 56250
19 1615 742.19 137275
3 285 792.19 27075
40 3150 3937.50 252000
其标准差计算如下：
x 78.75(分)
σ
Σ(x x )2 f Σf
甲组：50 60 70 80 90 乙组：68 69 70 71 72
则：x甲 Σx甲/n 70(件)
x乙 Σx乙/n 70(件)
AD甲( Σ |xx| ) / n (5|07|0|6 07|0|8 07|0|9 07|0) / 5 1 2 ( 件 )
AD乙( Σ |xx| ) / n (6|8 7|0|6 9 7|0|7 1 7|0|7 2 7|0) / 1.2(件)
统计学中标志变异指标分析
主要内容：
§1 总量指标 §2 相对指标 §3 平均指标 §4 标志变异指标
作业：习题四、五
第四节 标志变异指标
一．标志变异指标概述 二．标志变异指标的计算
一、标志变异指标概述
标志变异指标——是反映总体各单位 标志值变动程度或差异程度、度量 统计分布离中趋势的综合指标。又 称为标志变动度或离散程度。
【例】
有两个生产小组，每组都是5名工人，某 天日产量的件数如下：
甲组：50 60 70 80 90 乙组：68 69 70 71 72
则： x甲 Σ x甲/ n 7 0 ( 件 ) x乙 Σ x乙/ n 7 0 ( 件 )
计算标准差如下：
σ Σ(x x)2 n
σ甲 (202 102 102 202 )/5 14.14(件)
③ 有助于确定必要的抽样数目。
种类：
• 全距 • 四分位差 • 平均差 • 标准差 • 离散系数
二）标准差 （四）变异系数 （五）是非标志分布的数值特征
（一）极差（全距、Ｒ）
RX m
a
xXm
i
n
RUm a x Lm i n
全距的特点：
• 优点：计算简便，含义清晰，可以说明 总体中标志值变动的范围。还是编制组 距数列确定组数、组距的重要依据。
σ
Σx 2f Σf
(
Σxf Σf
)
2
3937.52
40
252000 40
(78.75)
2
9.92(分)
9.92(分)
标准差的变形公式：
或σ
Σ(x x )2
Σ(x 2 2x x x 2 )
n
n
Σx 2 2 x Σx n x 2
平均差的特点：
① 平均差是根据全部变量值与平均 数离差计算出来的，能全面、客 观地反映标志值的离散程度。
② 平均差计算有绝对值符号，不适 合代数方法的演算使其应用受到 了限制。
（三）、标准差和方差(σ与σ２)
• 标准差(σ)：是总体各单位的标志值 与其算术平均数的离差平方的算术 平均数的平方根，又称均方差。