第四节带电粒子在匀强磁场中的运动
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做____________运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做_______运动．
(1)向心力由洛伦兹力提供：qvB＝__________＝__________；
(2)轨道半径公式：R＝mv qB
；
(3)周期：T＝2πR
v
＝
2πm
qB
(周期T与速度v、轨道半径R无关)；
(4)频率：f＝1
T
＝
qB
2πm
；
(5)角速度：ω＝2π
T
＝__________.
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．分析方法：找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系作为辅助．
(1)圆心的确定
①基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．
②两种情形
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点)．b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点)．
(2)半径的确定
用几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
(3)运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为：
t＝
α
360°
T(或t＝
α
2π
T)．
2．规律总结
带电粒子在不同边界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图)
(2)平行边界(存在临界条件，如图)
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图)
典例分析：
例1、在磁感应强度为B的匀强磁场中，一带电粒子做匀速圆周运动，又垂直进入磁感应强度为2B 的匀强磁场中，则( )
A．粒子速率加倍，周期减半
B．粒子速率不变，半径减半
C．粒子速率减半，半径变为原来的1/4
D．粒子速率不变，周期减半
例2.一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场,粒子的一段径迹如图所示,径迹上的每小段都可以近似看成圆弧,由于带电粒子使沿途空气电离,粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变),从图中情况可以确定 ()。
A.粒子从a到b,带正电
B.粒子从b到a,带正电
C.粒子从a到b,带负电
D.粒子从b到a,带负电
例3、如图所示，在有界匀强磁场边界线SP∥MN，速度不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直，穿过b点的粒子，其速度方向与MN成60˚角．设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1、t2，则t1∶t2为( )
A．1∶3
B．4∶3
C．1∶1
D．3∶2
例4、如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.
一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则( )
A．该粒子带正电
B．A点与x轴的距离为mv 2qB
C．粒子由O到A经历时间t＝πm 3qB
D．运动过程中粒子的速度不变
例5、如图所示，在一底边长为2a，θ＝30°的等腰三角形区域内(D在底边中点)，有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从D点垂直于EF进入磁场，不计重力与空气阻力的影响．
(1)若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，求磁场的磁感应强度B为多少？
(2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED板，求粒子从进入磁场到第一次
打到ED板的最长时间是多少？
课堂针对练习：
1、关于带电粒子在匀强磁场中运动，不考虑其他场力(重力)作用，下列说法正确的是( )
A．可能做匀速直线运动 B．可能做匀变速直线运动
C．可能做匀变速曲线运动 D．只能做匀速圆周运动
2、一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如下图所示．径迹
上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电量不变)．从图中情况可以确定 ( )
A．粒子从a到b，带正电
B．粒子从a到b，带负电
C．粒子从b到a，带正电
D．粒子从b到a，带负电
3、如图所示，比荷为e/m的电子从左侧垂直于界面、垂直于磁场射入宽度为d、磁感受应强度为B
的匀强磁场区域，要从右侧面穿出这个磁场区域，电子的速度至少应为（）
A、2Bed/m
B、Bed/m
C、Bed/(2m)
D、2Bed/m
4、如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量相同的带电粒子a、b、c，
以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图。
若带电粒子只受磁场力的作用。
则下列说法正确的是( )
A．a粒子动能最大
B．c粒子速率最大
C．b粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期T a<T b<T c
5．如图所示，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，以不同的初速度两次从O点垂直于磁感线和磁场边界向上射入匀强磁场，在洛伦兹力作用下分别从M、N两点射出磁场，测得OM∶ON＝3∶4，则下列说法中错误的是( )
A．两次带电粒子在磁场中经历的时间之比为3∶4
B．两次带电粒子在磁场中运动的路程长度之比为3∶4
C．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为3∶4
D．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为4∶3
6、如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸里，磁感应强度
为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求：
（1）该粒子射出磁场的位置；
（2）该粒子在磁场中运动的时间.（粒子所受重力不计）
1、两个电荷量相等的带电粒子，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．下列说法中正确的
是( )
A．若它们的运动周期相等，则它们的质量相等
B．若它们的运动周期相等，则它们的速度大小相等
C．若它们的轨迹半径相等，则它们的质量相等
D．若它们的轨迹半径相等，则它们的速度大小相等
2、如图所示，在垂直于纸面向内的匀强磁场中，垂直于磁场方向发射出两个电子1和2，其速度
分别为v1和v2.如果v2＝2v1，则1和2的轨道半径之比r1∶r2及周期之比T1∶T2分别为( ) A．r 1∶r2＝1∶2，T1∶T2＝1∶2
B．r1∶r2＝1∶2，T1∶T2＝1∶1
C．r1∶r2＝2∶1，T1∶T2＝1∶1
D．r1∶r2＝1∶1，T1∶T2＝2∶1
3、质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半
圆轨迹如图中虚线所示．下列表述正确的是( )
A．M带负电，N带正电
B．M的速率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
4、如图所示，水平导线中有稳恒电流I通过，导线正下方的电子初速度方向与电流方向相同，其
后电子将（）
A．沿路径a运动，轨迹是圆；
B．沿路径a运动，曲率半径变小；
C．沿路径a运动，曲率半径变大；
D．沿路径b运动，曲率半径变小．
5、边长为a的正方形，处于有界磁场，如图所示，一束电子以v
水平射入磁场
后，分别从A处和C处射出，则v
A ：v
C
=____；所经历的时间之比t
A
：t
B
=____。
6．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电粒子（不计重力）以某一初速度沿圆的直径方向射入磁场，粒子穿过此区域的时间为t，粒子飞出此区域时速度方向偏转角为60°，根据以上条件可求下列物理量中的（）
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子的初速度
C．带电粒子在磁场中运动的周期
D．带电粒子在磁场中运动的半径
7、如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间
的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为 +q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ = 45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
⑴两板间电压的最大值U m；
⑵CD板上可能被粒子打中的区域的长度s；
⑶粒子在磁场中运动的最长时间t m．。