【解析】如图所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心
为C，半径为R.以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表
示电子的质量和电荷量，则：
eU = 1 mv2，evB = m v2
又有
2
tan θ 2
Hale Waihona Puke =r RR
由以上各式解得：B
=
1 r
2mU tan θ e2
.
【答案】 1 2mU tan θ
re 2
解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可 假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所 示.
由 半此径可R =知m它v 相们等的；运射动出时速间度分方别向为都t1 与= (边2π 界-B2qθ成)mθ、角t2；= 射2Bθqm出；点轨与迹O
Bq
点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
二、半径的确定和计算
利用平面几何的关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）， 并注意以下两个重要的几何特点：
１．粒子速度的偏向角φ等与圆心角α，并等于AB弦与切线 的夹角θ（弦切角）的２倍．即φ=α=2θ=ωt
２．相对的弦切角θ 相等，与相邻的 弦切角θ'互补，
即θ＋ θ'＝１８０°
O' φ(偏向角）
三、双边界问题
例3.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B， MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带
负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边 界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（ ）
A. qBd m
B. 2+ 2 qBd
m
C. qBd 2m
D. 2 - 2 qBd
【答案】 2deB πd
v
3v
【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题
的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的
第二个关键点.
二、单边界问题
例2.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两 个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力）， 从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ 角，则正负粒子在磁场中（ ） A.运动时间相同 B.运动轨迹的半径相同 C.重新回到边界时的速度相同 D.重新回到边界时与O点的距离相等
m
【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨
迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.
设此时轨迹半径为R，则有：
R+Rcos 45°=d，解得： R = 2 - 2 d
将上式代入
R=
mBqv，得：v =
2-
2 qBd m
.
【答案】D 【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切 的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
一、圆心的确定
1.已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出射点分别作 垂直与入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆 弧轨道的圆心
O
v
M
P
v0
2.已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入 射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两 条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
O
M P
v
【点评】解答本题的关键是作出轨迹的示意图，利用几
何知识及三角函数求出半径.
易犯的错误有：①认为轨迹半径就是磁场的半径.
②不能画出轨迹的示意图.
③不能作出四边形CaOb，找不到电子束偏转角度θ与轨
迹半径的关系.
例5.③在不真能空作中出半四径边r 形=3C×a1O0b-2m，的找圆不形到区电域子内束有偏一转匀角强度磁θ与场轨， 迹磁粒射半场入子径例的磁以的5v磁场0关=感，图1系×应已5.51强知-016度该1m甲B粒/s在=的子0真.初2的空T速比，中度荷方q半从=向径1磁如1场0图8边C所/k界g示上，的，m一的a不点个圆计沿带形粒直正区子径电域重a的内b力. 有（一1）匀求强粒磁子场在，磁磁场场中的做磁匀感速应m圆强周度运B=动0.的2 半T，径方. 向如图55-11 甲 场（子大所边？2的）示界方若， 上向要一的应使个a如点粒带何沿子正（直飞电用径离的va0磁粒b与射场子O入a时以的磁有v夹0场最=角1，大×θ已表的1知0示偏6该）转m粒/？角s子的最，的初大其比速偏入度转射从角时磁多粒
方法概述1：
带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型 分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的 速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：
（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线 的交点确定圆心的位置.
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹 角.
v
Ａ
θ θＢ αθ
‘v
三、运动时间的确定
利用偏转角（即圆心角α）与弦切角的关系，或
者利用四边形的内角和为360°，计算出圆心角α的
大小,由公式
t T
360
可求出粒子在磁场中运动的时间.
一、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定
例1.如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v垂直射入磁感 应强度为B、宽度为d的匀强磁场中.穿过磁场时速度方向与电 子原来射入方向的夹角是30°，则电子的质量为 ，穿过磁 场的时间是 .
2.与另一边界相切轨迹的半径
R= d 1 cosθ
四、带电粒子穿过圆形区域磁场问题 例4.在电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术来 实现的.电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强 磁场区，如图所示.磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O， 半径为r.当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心 M点.为了让电子束射到屏幕边缘P点处需要加磁场，使电子 束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
3.5 带电粒子在匀强磁场中的运动
温故知新
判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛 伦兹力的大小和方向：
-
v
B
图1
1、匀速直线运动
2、匀速圆周运动
3）粒子运动方向与磁场有一夹 角（大于0°小于90°）轨迹为 螺线
F × × × B× ×
×××××
×××××
×
× +×
×
v
×
×××××
图2
图3
带电粒子做圆周运动的分析方法
方法概述2：
1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤： （1）作入射方向的延长线与MN交于B点. （2）过入射点作入射方向的垂线.
（3）分别作∠ABN和∠ABM的角
平分线，两角平分线与入射方向的
垂线的交点为O1和O2. （4）O1、O2分别为正负电荷临界 偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射
点可作出两临界轨迹，如图所示.
分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方
向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心
角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2d
再由半径公式 R = mv
eB
可以求出电子的质量
m = 2deB
穿过磁场的时间
t=
θ
T
=
πd v
.
2π 3v