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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．复数(1)(i i i ⋅+为虚数单位)在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．“12x <<”是“2x <”成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必
要条件
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它
们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g =
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 5．在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin 3a B b =，则角A 等于
A ．
3π B ．4π C ．6
π D ．12π
6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于
A ．
32 B ．1 C ．212
+ D ．2 8．已知是单位向量，a ⋅b =0，若向量c 满足|c -a -b |1=，则|c |的最大值为
A ．21-
B ．2
C ．21+
D ．22+
9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使APB ∆的最大边是AB ”发生的概率为12，则
AD
AB
= A ．
12 B ．14 C ．32 D ．74
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ==，则()U A B = ð__________
11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线121:(x s l s y s =+⎧⎨=⎩为参数）和直线2:(21x at
l t y t =⎧⎨=-⎩
为
参数）平行，则常数a 的值为___________
12．执行如图1所示的程序框图，如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为___________
13．若变量,x y 满足约束条件28
0403x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则x y +的
最大值为___________
14．设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两
个焦点，若在C 上存在一点P 使12,PF PF ⊥ 且
1230PF F ∠= ，则C 的离心率为__________ 15．对于12100{,,
,}E a a a = 的子集12{,,}k i i i X a a a = ，定义X 的“特征数列”为12100
,,,x x x ， 其中121k i i i x x x ==== .其余项均为0.例如:子集23{,}a a 的“特征数列”为0,1,1,0,0,,0 .
(1) 子集135{,,}a a a 的“特征数列”的前3项和等于____________
(2)若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足111,1,(199)i i p p p i +=+=≤≤; E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足1121,1,(198)j j j q q q q j ++=++=≤≤,
则
P Q 的元素个数为____________
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数()cos cos()3
f x x x π
=⋅-
（1）求2(
)3
f π
的值 （2）求使1
()4
f x <成立的x 的取值集合
17．（本小题满分12分）
输入a ,b
开始
a >8?a =a +b
输出a 结束
否是图1涟源一中刘小红编
如图2，在直棱柱111ABC A B C -中，190,2,3,BAC AB AC AA D ∠==== 是BC
的中点，点E 在棱1BB 上运动. (Ⅰ) 证明：1AD C E ⊥
(Ⅱ) 当异面直线1,AC C E 所成角为60
时，求三棱锥111C A B E -的体积
D
E
C
B A
B 1
A 1
C 1
图2
涟源一中刘小红编
18．（本小题满分12分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y (单位:kg )与它“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：
X 1 2 3 4
Y
51 48 45 42
这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. （Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51 48 45 42
频数
4
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少
为48kg 的概率
19．（本小题满分13分）
设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知*
1110,2,n n a a a S S n N ≠-=⋅∈ （Ⅰ）求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和.
4
321
1234
涟源一中刘小红编
20．（本小题满分13分）
已知12,F F 分别是椭圆2
2:15
x E y +=的左、右焦点，12,F F 关于直线20x y +-=的对
称点是
圆C 的一条直径的两个端点. （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为,a b ，当ab 最大时，求直
线l 的方程
21．（本小题满分13分）
已知函数2
1()1x
x f x e x -=
+ （Ⅰ）求()f x 的单调区间
（Ⅱ）证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<。