（2）若 AB=2DE，线段 DE 在直线 AB 上移动，且满足关系式 ________. 【答案】 （1）解：①
，则
又 E 为 BC 中点
②设 当
；
，因点 F（异于 A、B、C 点）在线段 AB 上，
，
和
时，
可知：
此时可画图如图 2 所示，代入
解得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即 AD 的长为 3
当
时，
得：
此时可画图如图 3 所示，代入
4．如图 1，直线 MN 与直线 AB，CD 分别交于点 E，F，∠ 1 与∠ 2 互补
（1）试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由 （2）如图 2，∠ BEF 与∠ EFD 的角平分线交于点 P，EP 与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一 点，且 GH⊥EG，求证：PF∥ GH （3）如图 3，在(2)的条件下，连结 PH，在 GH 上取一点 K，使得∠ PKG=2∠ HPK，过点 P 作 PQ 平分∠ EPK 交 EF 于点 Q，问∠ HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若 变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为 180°．) 【答案】 （1）解：如图，
=3．
设运动时间为 t 秒， 1 ） 当 t=3 时， 点 B 和点 C 重 合 ， 点 P 在 线段 AB 上 ， 0＜ PC≤2 ，且 BD=CD=4， AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
当 PC=1 时，BD=AP+3PC，即
=3；
2）当 3＜t＜ 时，点 C 在点 A 和点 B 之间，0＜PC＜2， ①点 P 在线段 AC 上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+2PC=AB﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC，
∴ MC= AC= 6=3cm， 同理：CN=2cm， ∴ MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm， ∴ 线段 MN 的长度是 5m
（2）解：分两种情况： 当点 C 在线段 AB 上，由（1）得 MN=5cm， 当 C 在线段 AB 的延长线上时， ∵ AC=6cm，且 M 是 AC 的中点
∴ MC= AC= ×6=3cm， 同理：CN=2cm， ∴ MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm， ∴ 当 C 在直线 AB 上时，线段 MN 的长度是 5cm 或 1cm． 【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由 M 是 AC 的中点，求出 MC、CN 的值， 得到 MN=MC+CN 的值；（2）当点 C 在线段 AB 上，由（1）得 MN 的值；当 C 在线段 AB 的延长线上时，再由 M 是 AC 的中点，求出 MC、CN 的值，得到 MN=MC﹣CN 的值.
在，求线段 PD 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：设运动 t 秒时，BC=8 单位长度，
=3，若存
①当点 B 在点 C 的左边时， 由题意得：6t+8+2t=24 解得：t=2（秒）； ②当点 B 在点 C 的右边时， 由题意得：6t﹣8+2t=24 解得：t=4（秒）
（2）解：4 或 16 （3）解：存在关系式
当 PC=1 时，有 BD=AP+3PC，即
=3；
点 P 在线段 BC 上时，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，
当 PC= 时，有 BD=AP+3PC，即
=3；
3°当 t= 时，点 A 与点 C 重合，0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，
表示的数；（3）随着点 B 的运动，分别讨论当点 B 和点 C 重合、点 C 在点 A 和 B 之间及 点 A 与点 C 重合时的情况．
3． 综合题
（1）如图，已知点 C 在线段 AB 上，且 AC=6cm，BC=4cm，点 M、N 分别是 AC、BC 的中 点，求线段 MN 的长度．
（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点 C 在直线 AB 上，且 AC=6cm，BC=4cm， 点 M、N 分别是 AC，BC 的中点，求线段 MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结 果；如果没有，说明理由． 【答案】 （1）解：∵ AC=6cm，且 M 是 AC 的中点，
计算即可得；②设
，因点 F（异于
A、B、C 点）在线段 AB 上，
可知
，
和
，所以需分 2 种
情况进行讨论：
和
，如图 2、3（见解析），先根据已知条件判断点
E、F 位置，再将 EF 和 CE 用含 x 的式子表示出来，最后代入
求解即可；
（2）设
，先判断出 DE 在 AB 上的位置，再根据
得出 x 和 y
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．已知点 C 在线段 AB 上，AC=2BC，点 D、E 在直线 AB 上，点 D 在点 E 的左侧
（1）若 AB=18，DE=8，线段 DE 在线段 AB 上移动 ①如图 1，当 E 为 BC 中点时，求 AD 的长； ②点 F(异于 A，B，C 点)在线段 AB 上，AF=3AD，CE+EF=3，求 AD 的长；
解得：
，即 AD 的长为 5
综上，所求的 AD 的长为 3 或 5；
得：
（2） .
【解析】【解答】（2）①若 DE 在如图 4 的位置
设
，则
又
（不符题设，舍去）
②如 DE 在如图 5 的位置
设
，则
又
代入 解得： 则
得： .
【分析】（1）①根据 AB 的长和
由
可得 CD，最后根据
可求出 AC 和 BC，根据中点的定义可得 CE，再
当 PC= 时，有 BD=AP+3PC，即
=3；
4°当 ＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，
PC= 时，有 BD=AP+3PC，即
=3．
∵ P 在 C 点左侧或右侧， ∴ PD 的长有 3 种可能，即 5 或 3.5 【解析】【解答】解：（2）当运动 2 秒时，点 B 在数轴上表示的数是 4；当运动 4 秒时， 点 B 在数轴上表示的数是 16． 【分析】（1）设运动 t 秒时，BC=8（单位长度），然后分点 B 在点 C 的左边和右边两种情 况，根据题意列出方程求解即可；（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点 B 在数轴上
满足的等式，然后将其代入 化简即可得.
2．如图，数轴上线段 AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点 A 在数轴上表示的数是 ﹣10，点 C 在数轴上表示的数是 16．若线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动， 同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．
（1）问运动多少时 BC=8（单位长度）？ （2）当运动到 BC=8（单位长度）时，点 B 在数轴上表示的数是________； （3）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式