2021届湖南四大名校新高考原创预测试卷（二十六）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2(1)1A x N x =∈-≤，{}210B x x =-≥，则（ ） A ．{12}A B x x ⋂=≤≤ B ．{1,2}A B ⋂= C ．A B ⊆ D ．()R A B ⊆2．已知(1)()1i x yi -+=，其中x ，y 是实数，i 为虚数单位，则||x yi -=（ ）A ．22 B ．32 C ．52D 53．直线20x y a ++=与圆22240x y x ++-=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．56a -<< B ．46a -<< C ．36a -<< D ．4a >-4．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A 星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武．已知火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料质量M （单位：kg ），火箭质量m （单位：kg ）的函数关系是：2000ln 1M v m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v 的值为多少（参考数值为ln20.69≈；ln101 4.62≈）（ ） A ．13.8 B ．9240 C ．9.24 D ．13805．执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为（ ）A ．20192020 B ．20202021 C ．20212022 D ．202220236．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．15-B ．15C ．60-D ．60 7．若a ，b 为正实数，且1123a b+=，则3a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4 8．对于奇函数()f x ，若对任意的12,(1,1)x x ∈-，12x x ≠，且()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则当()21(22)0f a f a -+-<时，实数a 的取值范围为（ ）A ．(B ．12⎛⎝ C ． D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若222sin()cos ,4A B C a b c +=+-=，则ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．610．已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b b a a b >>B ．a b b a b a >>C ．b a b b a a >>D ．b b a a b a >> 11．已知函数()cos2sin f x x x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 的一条对称轴为2x π=B ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的最大值为9812．已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）ABCD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为_____．14．已知(1,)a t =，(2,2)b =-且a b ⊥，则||a b +=_____． 15．在正三棱锥P ABC -中，AB =PB =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____．16．已知函数,2,()ln(4),2x x e a x f x x x ⎧⋅+≥-⎪=⎨+<-⎪⎩（e 为自然对数的底数），若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围为_____．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 成等差数列，各项均为正数的数列{}n b 成等比数列，132,8b b ==，且2323a a b -=，3433a a b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2211log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为11:9，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人． （1）完成22⨯列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？（2）从被调查的女生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生均为优秀学生的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．附：19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）确定E 的位置，使//PB 平面AEC ；（2）设1PA AB ==，PC =，且在第（1）问的结论下，求二面角D AE C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=．（1）求曲线1C 的方程；（2）设离心率为2且长轴为4的椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又曲线2C 与过点(1,0)Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知45MONS =，O 为坐标原点，求直线l '的方程． 21．（本小题满分12分） 已知函数24()ln f x x x ax e=--，a ∈R ． （1）当()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线:10l x y -+=平行时，求实数a 的值；（2）若()2e xxf x >--恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值． 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()132f x x x =---．（1）求不等式1()(1)2f x x ≥-的解集； （2）若函数的最大值为n ，且2(0,0)a b n a b +=>>，求21a b+最小值．数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知得{0,1,2}A =，{1B x x =或1}x -，∴{1,2}A B ⋂=，故选B ．2．∵1122x yi i +=+，∴||||2x yi x yi +=-==，故选A ．3．已知22(1)5x y ++=，即圆心(1,0)-，半径r =20x y a ++=的距离为d =<，即46a -<<，故选C ．4．3100002000ln 12000(ln101)2000 4.629240km/s 3100v ⎛⎫=⨯+=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．5．11112021112232021202220222022S =+++=-=⨯⨯⨯，故选C ．6．631216C (1)2rr r r r T x --+=-，令3120r -=，即4r =，∴常数项为60，故选D ．7．1111313(3)11(22)223232a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3,31123a bb a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,31a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，“=”成立，故选A ．8．由已知得()f x 在(1,1)-上为单调递增函数，∴()()221(22)01f a f a f a -+-<⇔-<(22)f a -+，∴22122,1111,121221a a a a a ⎧-<-+⎪⎪-<-<⇒<<⎨⎪-<-+<⎪⎩，故选D ．9．sin cos tan 1C C C =⇒=，由已知得：∵(0,)C π∈，∴4C π=，又222cos 2a b c C ab ab +-=⇒=，∴1sin 12ABCSab C ==，故选A ． 10．由已知得1a b >>，故a b b a a b >>，故选A ．11．由已知得：对于选项A ，()cos(22)sin()()f x x x f x πππ-=-+-=，正确；对于选项B ，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确；对于选项C ，()()cos2sin cos(22)sin()f x f x x x x x πππ+-=++-+-2(cos2sin )0x x =+≠，错误；对于选项D ，令sin ([1,1])t x t =∈-，∴2()2sin sin 1f x x x =-++=221921248t t t ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当14t =时，max 98y =，正确，故选C ．12．由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==，故选D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在点(2,0)处取得最小值2．14．∵a b ⊥，∴0220a b t ⋅=⇔-+=，即1t =，∴||10a b +=． 15．由题意得外接球的半径为54，即22544S R ππ==． 16．设()xg x x e =⋅，则求导后得()g x 在(1,)-+∞上为增函数，在(2,1)--上为减函数．令,2,()ln(4),2,x x e x h x x x ⎧⋅-=⎨+<-⎩由图象可知，()f x 有三个零点，则a 的取值范围为221a e e ≤<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由23122b b q q =⋅=⇒=，∴2n n b =，又232134331,23,a ab a d a a b -=⎧⇒==⎨-=⎩，∴21n a n =-． （6分） （2）1111(21)(21)22121n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，11122121n n S n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． （12分） 18．（本小题满分12分） 解：（1）列联表如下：22100(35152030)0.0999 2.07255456535K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”． （6分）（2）抽取的13人中，男生、女生人数分别为7人、6人，记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A ，则11762137()13C C P A C ==， ∴两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率为713． （12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）E 为PD 的中点．证明：连接BD ，使AC 交BD 于点O ，取PD 的中点为E ，连接EO ， ∵O ，E 分别为BD ，PD 的中点， ∴//OE PB ．又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ． （6分）（2）分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，∴110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,0)AC =， ∴平面DAE 的法向量为(1,0,0)AB =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由11,0,220,n AE y z n AC x y ⎧⎧⊥+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪+=⎩⎩令1x =，则1y =-，1z =，∴(1,1,1)n =-，∴二面角D AE C --的平面角的余弦值为3cos 3||||AB n AB n α⋅==⋅． （12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y x =-，∴222,23042p y x p x px y px⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴1232x x p p +=⇒=，∴曲线1C 的方程为24y x =．（5分） （2）由已知得2a =，c =1b =，∴曲线2C 的方程为2214x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，则()22221,423041x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩． 设()()3344,,,M x y N x y ，34342223,44m y yy y m m +=⋅=-++， ∴34112OMNSy y =⨯⨯-=4247110m m ⇒+-=1m ⇒=±，∴直线l '的方程为10x y ±+=． （12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）()ln 1f x x a '=+-，∴斜率(1)110k f a a '==-=⇒=． （4分）（2）由已知得24ln 2x x x x ax e e-->--对任意的(0,)x ∈+∞恒成立 2141ln 2x a x xe e ⎛⎫⇔<++- ⎪⎝⎭恒成立． 令2141()ln 2,(0,)x h x x x x e e ⎛⎫=++-∈+∞ ⎪⎝⎭， 则22222421141()2x x x x e e h x x e e x x'-+-⎛⎫=---= ⎪⎝⎭， 令224()2,(0,)x x x x x e eϕ=-+-∈+∞， 则(2)()1xx x x e ϕ'-=+． ∵2(2)(1)11x x x -=--≥-， ∴(2)1x x x x e e-≥-． 又0x >，∴11x e <，即()0x ϕ'>恒成立， ∴()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，又(2)0ϕ=，∴当02x <<时，()0h x '<，即()h x 为减函数，当2x >时，()0h x '>，即()h x 为增函数， ∴min 21()(2)ln 21h x h e==+-， ∴21ln 21a e <+-． （12分） 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，由4cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=+ ⎪⎝⎭， ∴曲线C的直角坐标方程为220x y +--=． （5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得222(50t t ++-=，∴12122,2(5t t t t +=-⋅=-，∴121211||5||||||47t t PB PA PA PB PA PB t t +--===⋅⋅‖‖‖‖．（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（1）由已知得2,1,3()34,1,232,,2x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩ ∴当11,2(1)2x x x <-≥-⇒无解； 当31731,34(1)2252x x x x ≤≤-≥-⇒≤≤； 当3135,2(1)2223x x x x >-+≥-⇒<≤， 综上所述，不等式的解集为75,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）可知max 1()2f x n ==，∵2(0,0)a b n a b +=>>， ∴2121222(2)24118a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22a b b a =，即16a b ==时，“=”成立． （10分）。