习题一1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限)1.0ln(,121,1011,1014321====x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0⨯=====x x x x x1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?(1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小(2)⎰++121N N x dx,其中N 是充分大的正数 (3) xx sin cos 1-,其中x 充分小(4) o1cos 1- (5) 1001.0-e(6) )11010ln(84--1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。

习题二2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。

如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。

2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε。

(1) 02=--xx ；(2) 06cos 2=-++-x e xx；(3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x ex。

2.4 考虑方程032=-x e x，将其改写为3xe x ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε)。

2.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x x x +=⇒+=+，； (2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；(3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ，。

试分析每一种迭代公式的收敛性。

2.6 考虑用迭代法求解下列方程：(1) )2(312x e x x +-=-； (2) xx -=5； (3) 27475.1--+=x x x 。

按所给的形式建立迭代公式，试确定区间[a, b ], 使迭代公式收敛, 并求出满足精度要求310-=ε的解。

2.7 用迭代法的思想，给出求22222+++++ 的迭代公式，并证明：222222lim =+++++∞→nn 。

2.8 能否用简单迭代法求解下列方程，如果不能，请给出收敛的迭代公式。

(1) )sin (cos 41x x x +=； (2) xx 24-=。

2.9 已知)(x x ϕ=在区间[a,b ]内有一个根，且当a<x<b 时，1)(>≥'k x ϕ。

试问如何将)(x x ϕ=化为收敛的迭代公式。

2.10 用Steffensen 加速迭代法求方程13-=x x 在[1,1.5]内的根2.11 试用Newton 法求方程032=-x e x 的根, 分别取初始点0.4,0.1,5.00-=x , 精度要求为310-=ε。

2.12 选择适当的初始点, 试用Newton 法求出满足精度要求为310-=ε的解(1) )2(312x e x x +-=-； (2) 0cos 102=+x x 。

2.13 导出计算)0(1>a a的Newton 迭代公式，使公式中即无开方又无除法运算。

2.14 设⎩⎨⎧-∞∈--∞∈=)0,(,),0[,)(1x x x x x f ,⎪⎩⎪⎨⎧-∞∈-∞∈=)0,(,),0[,)(32322x x x x x f ，函数)(1x f 和)(2x f 均有零点x =0，分别讨论用Newton 法解0)(1=x f 和0)(2=x f 是否收敛？收敛的阶是多少？2.15 用Newton 法设计一种不用除法的迭代公式，求正数c 的倒数，并证明：当初值0x 满足cx 200<<时，该迭代法收敛。

2.16 试用Newton 法解方程03=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，讨论取什么初值可使迭代收敛。

2.17 为了简化，在Newton 迭代公式中用)(0x f '代替)(k x f '，试问这种迭代是几阶的？ 2.18 设23)()(a x x f -=, 写出解0)(=x f 的Newton 迭代公式, 并证明迭代公式是线性收敛的。

2.19 设非线性方程0)3)(133()(23=+-+-=x x x x x f , 其根1,3*2*1=-=x x . 写出求*1x 的近似值时，二阶局部收敛的Newton 迭代公式和求*2x 的近似值时，二阶局部收敛的Newton 迭代公式。

2.20 设0)(=x f 有根，且)()(0∞<<-∞≤'≤<x M x f m 。

试证明：由)(1k k k x f x x λ-=+产生的序列k x 对任意的0x 和M20<<λ均收敛于根。

2.21 为用迭代法求方程0)(=x f 的根α，若将方程改写成)()(x g x Cf x x =+=, 其中C 为待定常数。

设)(x f '连续且0)(≠'αf , 试确定C , 使序列)(1kk x g x =+收敛于α,且尽可能收敛得快。

习题三3.1 考虑线性方程组6545953232121-=+-=-+-=-x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用LU 分解算法求解该方程组。

3.2 考虑线性方程组114231124342321321321=+-=-+=--x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组。

3.3 考虑线性方程组53.048.104.368.203.130.1874.048.105.053.448.151.2321321321-=-+=-+=++x x x x x x x x x (1) 用顺序Gauss 消去法求解该方程组； (2) 用列主元Gauss 消去法求解该方程组；(3) 试检验⑴和⑵所得的两个解中, 哪个更接近准确解？(计算过程保留三位有效数字. 方程的准确解为： (1.35533, -1.29208, -0.252451)。

3.4 试用列主元Gauss-Jordan 消去法求下列矩阵的逆矩阵(用分数运算)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322)2(,011012111)1( 3.5 对下列矩阵作LU 分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3010211123.6 设n n ij a A ⨯=)(, 试导出A=LU 分解(Crout 分解)的计算公式. 其中L 为下三角矩阵, U 为单位上三角矩阵, 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111,211221222111 n n nn n n u u u U l l l l l l L 并用此公式得到求解线性方程组Ax=b 的计算公式。

3.7 用追赶法解方程组453423124343232121=++=+++=++=+x x x x x x x x x x3.8 导出Crout 的形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1111111221112211n n n n n nn n u u l a l l a l b a c b b a c b追赶法的计算公式。

3.9 设0),(11≠=a a A ij , 经过一步Gauss 消去法得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)2()2(2)2(2)2(222211,0nn n n Ta a a a A A a A 其中α 试证明：(1) 若A 对称，则2A 对称； (2) 若A 对称正定，则2A 对称正定；3.10 设A 对称正定，[]ij a A =, 经1步Gauss 消去后约化为[])2()2(ij a A =，试证：(1) n i a ii ,,2,1,0 =>, 且A 绝对值最大的元素在对角线上；(2) n i a a ii ii ,,2,1,)2( =≤；(3) ij nj i ijnj i a a max max ,1)2(,1≤≤≤≤≤。

3.11 试证明：单位下三角阵的逆、积还是单位下三角阵。

3.12 试证明：如果A 是对称正定阵，则1-A 也是对称正定矩阵且A 可唯一地写成形式L L A T =，其中L 是具有对角元的下三角阵。

3.13 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=211a A , 试分析当a 为何值时可作L L T 分解, 其中L 是对角线元素为正的下三角阵，并求矩阵L 。

3.14 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22112a a A , 为使A 可分解为L L A T =, 其中L 为对角线元素为正的下三角阵， a 的取值范围是多少？若取a =1, 求矩阵L 。

3.15 已知Ax=f , 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=010,212112f b a b A (1) 试问参数a 和b 满足什么条件时，可选用平方根法求解该方程组？(2) 取b=0, a = -1, 试用追赶法求解该方程组。

3.16 设nR x ∈，试证明：∞∞≤≤x n x x 1 ∞∞≤≤x n x x21211x x x n≤≤ 3.17 设nn RA ⨯∈，试证明：∑=≤≤=ni ij nj a A 111max3.18 设nn RA ⨯∈，试证明：F FA A An≤≤213.19 设矩阵A 非奇异，求证AA 11≥- 3.20 设矩阵A 非奇异，求证nA λλ1)(Cond ≥其中n λλ,1分别是矩阵A 的最大最小特征值，且当A 为对称矩阵时，上式等号成立。

3.21 设矩阵A 非奇异，试证明：若11<-A A δ, 则)(A A δ+非奇异，且满足AA A A δδ-≤+-1)(13.22 方程组Ax=b , 设A 非奇异阵，b 有扰动b δ, 从而引起方程组解x 有扰动x δ, 试证明：bbA xxδδ)(Cond ≤3.23 求下面两个方程的解，并利用矩阵的条件数对解进行分析。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--43240179319240432405.1795.319240221121x x x x x x δδ， 3.24 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A , 求p A 和∞=,2,1,)(Cond p A p 。