三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC =∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD∴DFDECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE=即DFBDDE BE =∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFECADB EFDAB点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB =AC ，∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP ∴∠BAP =∠MPC ∴△ABP ∽△PCM （2）∵BP =x ，CM =y ，CP =8-x∵MCBP PC AB = ∴yxx =-85 ∴x x y 58512+-=)80(<<x（3）当AP =PM 时∵ABPCPA PM =∴PC =AB =5 ∴BP =3 当AP =AM 时 ∵∠APM =∠B =∠C∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合 ∴P 不与点B 、C 重合 ∴舍去 当MP =AM 时 ∴∠MAP =∠MPA ∴△MAP ∽△ABC∴85==BC AB AP MP ∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ∴BP =839点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。

【例4】（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P不BP CABCPMABCPMABCPQ与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。

当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠，∴CQP BAP ∠=∠. 又∵AC AB =，∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴ABCPBP CQ =. ∵5==AC AB ，8=BC ，6=BP ，268=-=CP ， ∴526=CQ ，512=CQ .（2）若点P 在线段CB 上，由（1）知ABCPBP CQ =. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=，即x x y 58512+-=.故所求的函数关系式为x x y 58512+-=，)80(<<x .若点P 在线段CB 的延长线上，如图11.∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠， PAB APB ABC ∠+∠=∠，ABC APQ ∠=∠，∴ PAB CPQ ∠=∠.又∵ABC ABP ∠-︒=∠180，ACB PCQ ∠-︒=∠180，ACB ABC ∠=∠，ABC备用图A BCD图12ABC备用图PQ∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴PCABCQ BP =. ∵x BP =，x BP BC CP +=+=8，5=AB ，y CQ =，∴x y x +=85，即x x y 58512+= )0(>x . （2）当点P 在线段BC 上，255+=BP ，或255-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+=BP . 当点P 在线段CB 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+-=BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

强化训练：1.如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

4.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2yCPEABFCPEABDAB CDEABCDEF（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

6.已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点，E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆；（2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.7.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．8.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，34tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =.（1）求证：DM AM =；（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；9.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么CPEABFH ABCDE FCB A EFDBM C①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMFS S ∆∆=49时，求BP 的长．10.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E EF ． （1）指出图中所有与△BEM （2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 答案：1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE （2）∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE =∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x（3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形 2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD （2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-= ∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE（2）∵∠DPE =∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴35==PC BD PE PD CP EABDH CPEABDHE DC B AP （第25题图）CM∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去） 综上所述，BD 的长为512 4. 解：（1）52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342= （2）∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5. 解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅=即x x y 256475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x∴43108=x当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、26. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH= CPEABFHCPEABFH CPEAB F G HM∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x =- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF=，∴9422y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -= 解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQAPPD AB = 即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．8. 证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BM AB C AMB ==∠tan tan ∴BM834=∴6B M = ∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DMC DAB PE(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+∴1056101y 2+-=x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2 ②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EMME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x =9. 证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠CBE =2,BP =2,CP =4,CD =4，∴CDBPCP EB =，∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠Θ又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠ ∴△BEP ∽△CPF ，∴CF BPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y （42<<x ）②当点F 在线段CD 的延长线上时Θ∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMF ΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23 又43212-+-=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根，故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使BEP DMF S S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMFΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴x y BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CFBPCP EB =，∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x 由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1 所以当BEP DMFS S ∆∆=49时，BP 的长为1． 10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ． 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ．∴△CMF ∽△BEM ． ∴CM BEFM EM =． 又∵CM =BM ，∴BMBEFM EM =．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ． （2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CFCMBM BE =． ∵BM =CM =2，∴y x 22=．∴所求函数的解析式为xy 4=，（41≤≤x ）。