系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。
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3. 李雅普洛夫第二法
又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫
函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接 对平衡状态的稳定性做出判断。
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量 函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：

V(x)为正定的； V(x)的导数为负定的； 当 x 时, V ( x)
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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一 李雅普洛夫稳定性理论
1. 2. 3. 4.
李雅普洛夫意义下的稳定性 李雅普洛夫第一法 李雅普洛夫第二法 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析
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2. 李雅普洛夫第一法
利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。

Ax , x(0) x0 , t 0, 有： 定理1 对线性定常系统 x

系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 部的特征值为单根；
1. 李雅普洛夫意义下的稳定性

平衡状态
满足
f ( x, t ) x
e f ( xe , t ) 0 x
即x不再随时间变化

对线性定常系统： 其平衡状态满足
Ax x
Axe 0
当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。

对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。
lim x (t ; x0 , t0 ) xe 0
t
则称该平衡状态是渐近稳定的。
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李雅普洛夫意义下的稳定性

大范围（全局）渐近稳定

当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。

能量函数总大于零； 对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。

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李雅普洛夫第二法

定理2 对连续时间非线性时变自由系统
f ( x, t ) , t t 0 x
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李雅普洛夫第二法

定理4 对定常系统 x f ( x) ,
t 0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函 数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：

V(x)为正定的； V(x)的导数为半负定的； 对任意 x X , 当
当 x 时， x , V ( x, t )

则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法

定理3 对定常系统 x f ( x) , t 0
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李雅普洛夫意义下的稳定性

李雅普洛夫意义下的稳定性

对平衡状态xe，初始状态 x0，
x0 xe , t t0
若对任意规定ε，在 t →0过程中， 满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
( x(t; x ,0)) VV ( x)
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法

定理 5 （系统不稳定判定）
对时变或定常系统， 如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数 V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空 间中围绕原点的某个域的一切 x和一切 t > t0 满足：
则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 δ与ε有关，通常也与 t0有关。 如果δ与t0无关，则为一致稳定。
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李雅普洛夫意义下的稳定性

渐近稳定

设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义 下是稳定的，同时满足
对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。 非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。


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李雅普洛夫意义下的稳定性

不稳定性

如果对于某个实数ε> 0和任一实数 δ > 0，不管其多 么小，在S(δ )内总存在一个状态x0，使得由该状态出 发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定的。
其中f (0, t) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t), V(0,t) = 0, 且满 足如下条件：

V(x,t)正定且有界，即有 x V ( x, t ) x 0

( x, t ) r x 0 V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有V

V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的； V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正 定的；