即112442kgk f M L M ML θθθ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭&&21244k k g M M L θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭&& （2）定义状态变量11x θ=，21x θ=&，32x θ=，42x θ=& 则一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。

当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。

水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。

（1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。

【解】（1）对左边的质量块，有()2111211cos sin sin cos sin 222L L L ML f k MgL θθθθθθ=⋅-⋅-⋅-&& 对右边的质量块，有()221222sin sin cos sin 22L L ML k MgL θθθθθ=⋅-⋅-&& 在位移足够小的条件下，近似写成：()112124f kL ML Mg θθθθ=---&& ()21224kL ML Mg θθθθ=--&&122133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =⎧⎪⎛⎫⎪=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎨=⎪⎪⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩&&&& 或写成1122334401000014420001000044x x k g k x x M L Mf ML x x x x k kg M M L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦&&&&二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为=xAx &，其中22R ⨯∈A 。

若1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，状态响应为22()t t e t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x ；2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，状态响应为2()t t e t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 。

试求当1(0)3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x 时的状态响应()t x 。

【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有221()1t t t e t e e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A x22()1t t t e t e e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A x合并得2212211tt t t t e e e ee ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A 求得状态转移矩阵为122221212221111t t t t ttt t t e e e e e ee e e -----------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A22222222t tt t t t t t e e e e e e e e --------⎡⎤-+-+=⎢⎥--⎣⎦当1(0)3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x 时的状态响应为222211222()332t tt t tt tt t e e e e t e e ee e --------⎡⎤-+-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A x 227874t t tt e e e e ----⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦三．（本题满分10分）已知某系统的方块图如下，回答下列问题：（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 的取值范围。

【解答】（1）系统的状态空间表达式为[]1122122110110x x k u x x x y x ⎧-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩&& （2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数3k ≠且0k ≠。

四．（本题满分10分）离散系统的状态方程为1122(1)()410()(1)23()1x k x k u k x k x k +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）是否存在一个有限控制序列{}(0)(1)()u u u N L，使得系统由已知的初始状态1(0)x ，2(0)x 转移到1(1)0x N +=，2(1)0x N +=？试给出判断依据和判断过程。

（2）若存在，求N 的最小值及控制序列{}(0)(1)()u u u N L 。

【解答】（1）由题意，4123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦G ，01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦h ，[]c 0113⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦Q h Gh ，c rank 2=Q ，由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。

（2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的(0)u ，(1)u ，使得(2)=x 0，即N 的最小值为1。

根据状态方程(1)()()k k u k +=+x Gx h 进行递推如下： (1)(0)(0)u =+x Gx h(2)(1)(1)u =+x Gx h [](0)(0)(1)u u =++G Gx h h 2(0)(0)(1)u u =++G x Gh h =0， 由上面最后一步可得2(0)(1)(0)u u +=-Gh h G x即[]2(1)(0)(0)u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦h Gh G x2c (1)(0)(0)u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦Q G x 112c 2(0)(1)40104010(0)(0)(0)(0)187187x u x u ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q G x x 即12(0)18(0)7(0)u x x =-+，12(1)40(0)10(0)u x x =-+。

五．（本题满分10分）对下列系统010651u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x & 试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数0.707ζ=；阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。

【解答】假设状态反馈控制律为[]1122x u k k x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，代入状态方程得闭环系统[]12010651k k ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x x & 120165k k ⎡⎤=⎢⎥-+-+⎣⎦x 闭环特征多项式为()()221121()det 5665f k k k k λλλλλλ-=-==+-+--+-I A根据题意的要求，0.7072ζ==，P t π==，n ω=项式为*222()222n n f λλζωλωλλ=++=++根据多项式恒等的条件可得：215262k k -=⎧⎨-=⎩ 解得1243k k =⎧⎨=⎩ 状态反馈控制律为[]11212243x u k k x x x ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦。

六．（本题满分10分）设系统的状态空间表达式为[]010*******u y ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=x x x& 若该系统的状态2x 不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为10-，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态2x )的估计方程。

【解答】将状态空间表达式写成：122215100x x x x u y x=⎧⎪=-+⎨⎪=⎩&& 进一步写成2225100x x u y x ω=-+⎧⎨==⎩&&设降维观测器方程为()225100x l x u l ω=--++))& ()225100x l x u ly =--++))&&引入中间变量2z x ly =-)，两边求导数得()()22251005100z x ly l x u ly ly l x u =-=--++-=--+)))&&&&&()()5100z l z ly u =--++& ()()55100z l z l l y u =---++&根据题意，降维观测器的极点为-10，即510l --=-，解得5l =。

最终得到降维观测器的动态方程为1050100z z y u =--+&状态估计的表达式为25x z y =+)。

七. （本题满分10分）证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。

【证明】设原线性系统为=+⎧⎨=+⎩xAx Bu y Cx Du & 其传递函数矩阵为()1()s s -=-+W C I A B D 设线性变换为=x Tz ，变换后的线性系统为11--⎧=+⎨=+⎩z T ATz T Buy CTz Du & 该系统的传递函数矩阵为()111()s s ---=-+W CT I T AT T B D()1111s ----=-+CT T T T AT T B D()111s ---⎡⎤=-+⎣⎦CT TI A T T B D()111s ---=-+CTTI A TT B D()1s -=-+C I A B D显然，()()s s =W W ，即其传递函数（矩阵）保持不变。

证毕八. （本题满分10分）某2阶非线性系统的状态方程为312152512212221323x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎨=--+⎪+⎩&&，证明该系统在坐标原点处渐近稳定。

【证明】取李雅普诺夫函数2212()V x x =+x ，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：()53251211221212122212()222323x x V x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+=-+--+ ⎪+⎝⎭x &&&261122126213x x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭ 令函数12123xy x =+，则211230yx x y -+=，关于1x 的二次方程的根的判别式为24120y ∆=-≥，213y ≤，33y -≤≤。

则有11133y --≤-+≤-，所以表达式121213x x -++恒小于零，因此，()V x &为负定。

所以该系统在坐标原点处渐近稳定。