《常用数学软件介绍》课程设计用Matlab求解下列各题，要求：抄题,写出程序、运行结果，根据要求贴上运行图。

1、求矩阵211020413A-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭的逆矩阵1A-及特征值和特征向量。

解：>> clear;A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3];inv(A)[V,D]=eig(A)ans =Columns 1 through 2 Column 3-1.5000e+000 5.0000e-001 5.0000e-0010 5.0000e-001 0 -2.0000e+000 5.0000e-001 1.0000e+000 V =Columns 1 through 2 Column 3-7.0711e-001 -2.4254e-001 3.0151e-0010 0 9.0453e-001 -7.0711e-001 -9.7014e-001 3.0151e-001 D =-1 0 00 2 00 0 22、化方阵222254245A-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭为对角阵。

解：A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; >> diag(diag(A))ans =2 0 00 5 00 0 53、已知422134305,203153211A B-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=--⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，在MA TLAB命令窗口中建立A、B矩阵并对其进行以下操作：(1) 计算矩阵A 的行列式的值det()A(2) 分别计算下列各式：1122,*,.*,,,,T A B A B A B AB A B A A ---解：（1）、 A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];>> det(A)ans =-158（2）、ans =7 -7 0-4 0 130 11 5ans =12 10 247 -14 -7-3 0 -8ans =4 -6 86 0 -152 -5 3ans =-2.2204e-016 -6.6613e-016 2.0000e+000-2.7143e+000 -8.0000e+000 -8.1429e+0002.4286e+0003.0000e+000 2.2857e+000ans =4.8734e-001 4.1139e-001 1.0000e+0003.6709e-001 -4.3038e-001 2.7756e-017-1.0759e-001 2.4684e-001 1.3878e-017ans =24 2 4-7 31 9-8 13 36ans =4 -3 1-2 0 52 5 34、在MA TLAB 中分别利用函数rank 、函数inv 求下列矩阵的秩：(1) 16323540,11124A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭求 rank(A)=?(2) 35011200,10201202B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求1B -。

解：（1）、clear;A=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4];rank(A)ans =3（2）、clear;B=[3 5 0 1;1 2 0 0;1 0 2 0;1 2 0 2];>> inv(B)ans =2.0000 -4.0000 -0.0000 -1.0000-1.0000 2.5000 0.0000 0.5000-1.0000 2.0000 0.5000 0.50000 -0.5000 0 0.50005、求一个正交变换，将二次型222123121323553266f x x x x x x x x x =++-+-化为标准型。

解：syms y1 y2 y3A=[5 0-1 3;-1 5 -3;3 -3 3];[P,D]= eig(A);y=[y1;y2;y3];x=P*y; %所求的正交变换f=[y1 y2 y3]*D*y;x=vpa(x,5)f=vpa(f,5)x =0.40825*y1 + 0.70711*y2 - 0.57735*y30.70711*y2 - 0.40825*y1 + 0.57735*y3- 0.8165*y1 - 0.57735*y3f =- 4.4409*10^(-16)*y1^2 + 4.0*y2^2 + 9.0*y3^26、求230x e x -=的所有根。

（先画图后求解）（要求贴图）解：clear;syms xy=exp(x)-3*x^2;ezplot(y)grid onsolve(y)ans =-2*lambertw(0, -3^(1/2)/6)-2*lambertw(0, 3^(1/2)/6)7、求下列方程的根。

1) 5510x x ++=解：clear;syms xy=x^5+5*x+1;solve(y)ans =-0.199936102171219995550345619153391.1044655068824455162575638841973 - 1.059829669152520116674945646898*i 1.059829669152520116674945646898*i + 1.1044655068824455162575638841973 - 1.0609465064060406435760940804509*i - 1.0044974557968355184823910746206 1.0609465064060406435760940804509*i - 1.0044974557968355184823910746206 2）1sin 02x x -= 解：clear;syms x;y=x*sin(x)-1/2;solve(y)ans =-226.196881523984404747513353897813）2sin cos 0x x x -= 所有根。

解：>> fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0)ans =>> fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0.6)ans =0.70228、求点(1,1,4)到直线L : 31102x y z --==- 的距离 解：clear;m=[3 0 1];v=[-1 0 2]; %m 是直线上的定点，v 是直线的方向向量n=[1 1 4]; %n 是直线外的点u=[2 -1 -3]; %u 是向量mnd=norm(cross(u,v))/norm(v)d =1.0954e+0009、已知22()21(),2x f x e μσπσ--=分别在下列条件下画出()f x 的图形：（要求贴图） (1)1,011σμ=时＝，－，，在同一坐标系里作图(2)0,124μσ＝时＝，，，在同一坐标系里作图。

解：clear;syms x;f1=(1/sqrt(2*pi))*exp(-((x-0)^2/2));f2=(1/sqrt(2*pi))*exp(-((x+1)^2/2));f3=(1/sqrt(2*pi))*exp(-((x-1)^2/2));ezplot(f1)hold onezplot(f2)hold onezplot(f3)（2）clear;syms x;f1=(1/sqrt(2*pi)*1)*exp(-((x-0)^2/2*1));f2=(1/sqrt(2*pi)*2)*exp(-((x-0)^2/2*2^2));f3=(1/sqrt(2*pi)*4)*exp(-((x-0)^2/2*4^2));ezplot(f1)hold onezplot(f2)hold onezplot(f3)10、画下列函数的图形：（要求贴图） (1)sin 020cos 024x u t t y u t u t z ⎧⎪=≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪=⎩>> ezmesh('u*sin(t)','u*cos(t)','t/4',[0,20,0,2])(2) sin()03,03z xy x y =≤≤≤≤ >> x=0:0.1:3;y=x;[X Y]=meshgrid(x,y);Z=sin(X*Y);>> mesh(X,Y ,Z)(3) sin (3cos )02cos (3cos )02sin x t u t y t u u z u ππ=+⎧≤≤⎪=+⎨≤≤⎪=⎩ezmesh('sin(t)*(3+cos(u))','cos(t)*(3+cos(u))','sin(u)',[0,2*pi,0,2*pi])11、在MATLAB 中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组1234(1 132),( 1 113),(5 289),( 1 317)T T T T αααα==--=-=-中的一个最大线性无关组。

(可用rref 函数)clear;a1=[1 1 3 2];a2=[-1 1 -1 3];a3=[5 -2 8 9];a4=[-1 3 1 7];A=[a1;a2;a3;a4]rref(A)A =1 1 3 2-1 1 -1 35 -2 8 9-1 3 1 7ans =1 02 00 1 1 00 0 0 10 0 0 0最后一行全为零，说明这四个向量是线性相关的。

两个非零行的第一个非零元在第一列和第二列。

则a1，a2是一个极大无关组。

12、在MA TLAB 中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解。

(1)123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ (2) 12312312312323424538213496x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩解：function [RA,RB,n,x]=liezy(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0disp('因为RA~RB ，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1;[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:); B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q); endelsedisp('因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endEnd（1）A=[1 -1 4 -2;1 -1 -1 2;3 1 7 -2;1 -3 -12 6];>> b=[0;0;0;0];>> [RA,RB,n,x]=liezy(A,b)因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =RB =n=4x =（2）A=[2 3 1;1 -2 4;3 8 -2;4 -1 9];>> b=[0;0;0;0];[RA,RB,n,x]=liezy(A,b)因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.13、求解30sin lim x x x x->- 解：clear;syms x;limit((x-sin(x))/x^3,x,0)ans =1/614、(10)cos ,x y e x y =求解：clear;syms x;y=(exp(x))*cos(x);dy_dx=diff(y,x,10)dy_dx =-32*exp(x)*sin(x)15、求解21/20(17x e dx ⎰精确到位有效数字）>> sym x;>> vpa((int(exp(x^2),x,0,1/2)),17)ans =0.5449871041836222216、求解42254x dx x+⎰>> sym x;>> int(x^4/(25+x^2),x)ans =125*atan(x/5) - 25*x + x^3/317、求由参数方程2ln 1arctan x t y t⎧⎪=+⎨=⎪⎩所确定的函数的一阶导数dy dx 与二阶导数22d y dx clear;syms tx=log(sqrt(1+t^2));y=atan(t);dx_dt=diff(x,t);dy_dt=diff(y,t);dy_dx=dy_dt/dx_dtd2y_dx2=diff(dy_dx,t)dy_dx =1/td2y_dx2 =-1/t^218、设函数y =f (x )由方程xy +e y = e 所确定，求y ′(x )。