高中平面解析几何全一册第二章圆锥曲线第二单元圆一、教法建议【抛砖引玉】本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。

在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。

由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。

【指点迷津】这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。

对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。

由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。

圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k12=±+对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式A x2 +B xy +C y2 +D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0(2)不含xy项，即B = 0(3)D 2 + E 2－4F > 0 才能表示一个圆。

也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。

而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。

用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a 、b 、r 三个未知数或含D 、E 、F 三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。

二、学海导航【思维基础】本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。

而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。

1.求圆的方程和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：根据下列条件求圆的方程1.已知直径的两端点是A （－3，5）和B （1，－3）2.圆心在A （3，－5）且与直线x －7y + 2 = 0相切3.经过点A （2、2）和B （4，－2），圆心在y 轴上 显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。

1.圆心为AB 中点C （－1，1）半径r AB ==1225||，圆的方程是(x + 1)2 + (y －1)2 = 202.半径r 是圆心A （3、－5）到直线x －7y + 2 = 0的距离42，圆的方程是(x －3)2 + (y + 5)2 = 323.圆心是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点，AB 的垂直平分线是x －2y －3 = 0，圆心是C （0、－32），半径|AC| =1265，圆的方程是x y 2232654++=() 而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b ），圆的方程是x 2 + (y －b )2 = r 2因为经过点A （2、2）和B （4、－2），所以有2242222222+-=+--=⎧⎨⎪⎩⎪()()b rb r 解方程组得 b r =-=326542，此题也可设圆的方程是x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0，它的圆心坐标为（--D 2E 2，），又由于圆心在y 轴上，故-D2= 0，即D = 0，圆的方程化为： x 2 + y 2 + E y + F = 0因为经过点A （2，2）和B （4，－2），所以有222E F 04(2)(2)E F 02222+++=+-+-+=⎧⎨⎪⎩⎪ 解方程组得：E = 3，F =－14 圆的方程是x 2 + y 2 + 3y －14 = 0 配方得x y 2232654++=() 2.求圆的切线的方程圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。

例如：已知圆x 2 + y 2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程： 设切线方程是y =－x + b 即x + y －b = 0根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x 2 + y 2 = 1的圆心（0，0）到切线x + y －b =0的距离等于1，即||00111222+-+==±b b切线方程是x y x y ++=+-=2020与3.圆与直线的问题 圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？如判断圆x y x y 222410+-++=和直线3x －4y + 5 = 0的位置关系。

除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来判定，若d < r ，则直线和圆相交；若d = r ，则直线和圆相切；若d > r ，则直线和圆相离。

x y x y 222410+-++=配方得 (x －1)2 + (y + 2)2 = 4它的圆心是(1、－2) 半径r = 2d =+++-==>||()38534165315222所以直线和圆相离4.两个圆的位置关系我们知道两个圆有五种不同位置关系：即外离、外切、相交、内切、内含，用解方程组的方法讨论时，只能判定相离，相切或相交，但分不出内切还是外切，外离还是内含，若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系：如果圆心距用d 表示，两圆半径分别是R ，r （R > r ），若d < R + r ，且d > R －r ，则两圆相交；若d = R －r ，则两圆相内切；若d < R －r ，则两圆相内含。

如：已知两圆的方程分别是x 2 + y 2 = 4和x y x y 2268240+-+-=。

试判断它们的位置关系。

圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2 圆x y x y 2268240+-+-=，配方化为()()x y -++=344922，圆心为（3，－4），半径为R = 7圆心距d = 5，又R －r = 5 即d = R －r所以两圆相内切【学法指要】例1.求圆心是C （2、－1），且截直线x －y －1 = 0所得弦长是22的圆的方程。

分析：此题的圆心是已知，列圆的方程只须求出半径长，怎样求半径长呢？如图，弦心距、弦的12和半径构成直角三角形，若求出弦心距，可求出半径。

解：如图：圆心C （2，－1）到直线x －y －1 = 0的距离是|CD||211|1(1)2|AB|22|AD|2|AC||CD||AD|4 (2)(1)4222222=+-+-=====+=-++=∵∴∴半径所求圆的方程是r x y例2.已知一个圆的圆心在直线l 1:x －y －1 = 0上，该圆和直线l 2:4x + 3y + 14 = 0相切，并且直线l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，试求此圆的方程。

分析：此题直接求圆心坐标和半径比较困难。

一般应选择待定系数法求圆的方程，设标准方程还是一般程呢？因为已知条件与圆心有关，设标准方程比较好，我们知道三个独立条件确定一个圆的方程，以下的问题是如何将题目中已知的三个条件转化为三个含a 、b 、r 的方程。

解：如图：设所求圆的圆心是（a 、b ），半径是r ，圆的方程是(x －a )2 + (y －b )2 = r 2 由于圆心（a 、b ）在直线x －y －1 = 0上，有a －b －1 = 0 (1) 由于圆与直线4x + 3y + 14 = 0相切，有||43143422a b r +++= (2)由l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆心到l 3的距离是r 223-||3410343222a b r +++=- (3)解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2，b = 1，r = 5 所求圆的方程是 ()()x y -+-=212522例3.已知圆x 2 + y 2－2x －3 = 0，求过点A （5，0）的圆的切线方程分析：首先应判定点A 在圆上还是在圆外。

想一想，若点在圆上可以有几条切线？若点在圆外有几条切线？怎么求它们的切线方程呢？切线是直线，现已知过一个点，若能求出斜率或直线上另一点即可求出方程，也可用待定系数法求。

解法一：如图圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是（1、0），半径是2 点（5、0）在圆外，设切线方程是 y = k (x －5)即kx －y －5k = 0因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2所以||k k k -+=5122解得k =±33所求圆的切线是：335330335330x y x y --=--+=和 化简得x y x y --=+-=350350和为所求切线方程 解法二：如图：圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是C （1、0）半径是2。

点A （5，0）在圆外。

设切点为P （x 1、y 1） 直线AP 的斜率为y x 115-。

CP 的斜率为yx 111- ∵AP ⊥CP ∴y x yx 1111511-⋅-=- 即x y x 12121650+-+= (1) ∵切点P （x 1、y 1）在圆上∴x y x 12121230+--= (2)解(1)、(2)组成的方程组，得两组解x y x y 11112323==⎧⎨⎩⎪==-⎧⎨⎩⎪和 即有两个切点 P (2 ,3) P (2 ,3)12和-则两条切线的斜率分别为-33和33，所求切线方程是y x y x =--=-335335()()和 化简得x y x y +-=--=350350和 说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程例4.圆x 2 + y 2 = 4，求经过点P （0，－4）且与圆相交的直线的斜率k 的取值范围。