IRS (The Improved Reduced System) 静力缩聚忽略了全部惯性项，精度通常不高。 O’Callahan对此进行了改进。 由
m K R x m 0 M R x
可得： 因而，
1 m M x R K Rxm
由此得到IRS变换矩阵 其中，
1 ss 1 R
T
2 2
约束模态：
( 2)
约束模态退化为刚体模态：
(1)
u 1, 1, 1, 1, 1, 1
u 2 / 3, 1 / 3, 1
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4
其它方法
• 自由子结构方法 • 双协调子结构方法
参考文献： 王文亮，杜作润，结构振动与动态子结构方法，复 旦大学出版社，1985 王文亮等，结构动力学，复旦大学出版社，1993
k ij , (r ) k jj
(r )
(r )
(r ) m m ( r ) ii m ji
m ij (r ) m jj
(r )
(ΦT ik m ii Φ ik ) diag ( m p ),
2 (ΦT ik k ii Φ ik ) diag ( m p p ).
9
• 4组：阅读文献，讨论IRS缩聚系统振动特性及响应
分析的影响。 时间：第周上课前完成
10
小组练习
• 1组：阅读文献，对IOR方法作一简单介绍，并提供
相关算例。 时间：第周上课前完成
动态子结构方法：基本概念
• 子结构方法的基本思想 • 子结构方法与Ritz方法的关系 • 术语
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1 TIRS Ts SMTs M R KR
s K K sm m K K smM K R x m x x
代入(1)，有
5
1 ss
0 0 S 1 0 K ss
缩聚质量、刚度矩阵
T T M IRS TIRS MTIRS , K IRS TIRS KTIRS
K sm x m K ss x s 0
假定Kss是正定的，则有
1 x s K ss K sm x m
M R TsT MTs , K R TsT KTs
参考文献： Guyan, RJ, “Reduction of stiffness and mass matrices”, AIAA Journal, Vol. 3, No. 2, 1965, pp. 380.
1 ii
u U nvq v
定义约束模态
(r )
之下，系统的自由度数目从(r)n缩减为v。此时，子 结构的广义刚度和质量矩阵为
(r )
k UT nv kU nv ,
(r )
m UT nv mU nv .
由上式定义的约束模态要求结构无刚体模态。如果 结构有刚体模态，一般应归入约束模态范围。约束 模态用于描述内部点的牵连运动。 至此，我们已经得到Ritz基
6
1
动力减缩
如果把(1)写为特征方程的形式，
动力减缩
参考文献： O’Callahan, JC, 1989, “A Procedure for an Improved Reduced System (IRS) Model,” Proceedings of the Seventh International Modal Analysis Conference, Las Vegas, Nevada, USA, February 1989 , pp. 17–21.
( r ) k ii (r ) k ji
(r ) (r )
Φ ik [ 1 , 2 , , k ],
2 Ω kk diag( p )
k ij Ψ ij 0ij k jj I jj R jj
动力减缩
• 动力减缩(缩聚/凝聚/降阶)
假定无阻尼振动系统
动力学与控制
动力缩减与动态子结构方法
的全部n个自由度可以分为两组：m个主自由度，s = n-m个副自由度，不失一般性，假定副自由度不受外 力作用，则有
Kx f M x
M mm M sm
m K mm M ms x s K sm M ss x
K ms x m f m K ss xs 0
(1)
2
由此可以建立主自由度与副自由度之间的关系：
m M ss s K sm x m K ss x s 0 M sm x x
动力减缩

动力减缩
其中，
Guyan缩聚(静力凝聚) 忽略(1)式中的惯性项，有
x2 x3
m k m k m k m k m k m K M
M
K
M
K
x1
M
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K
M
K
M
K
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约束子结构方法
子结构1：固定界面主模态有解析解
k (2 p 1) (1) p 2 sin , m 22
(1)
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(1)
qT k,
( 2)
qT k,
( 3)
qT k,
(1 2 ) T j
s ,
( 2 3) T T j
s

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20
约束子结构方法
• 例：带有抗震装置的建筑物
约束子结构方法
子结构1：建筑物 子结构2：抗震装置
u5 m k m u4 k m u3 k m u2 k m u1 k m
约束子结构方法
子结构2：主模态
( 2)
12
K T , (1) 1, 1 ; M 3K T , ( 2) 1, 1 . M
T
( p ) u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ;
T
( 2)
(1)
u r( p ) sin
r (2 p 1) . 22
18
3
约束子结构方法
(r ) T m jj m jj m ji Ψ ij ΨT ij m ij Ψ ij m ii Ψ ij .
约束子结构方法
则系统广义刚度矩阵的结构为
(1) k kk K
( 2)
至此，我们已经得到了任意一个子结构广义刚度、 质量矩阵的表达式。对于整体结构而言，子结构间 分界面上点的位移为公共位移。我们将第r个子结 构的广义位移划分为 (r ) q (r ) qv (r ) k sj 其中，(r)sj 为对接面广义位移，应统一安排。 以本节开始处的3子结构系统为例，共有2个公共界 面，定义系统的广义位移列为
q
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k kk
( 3)
k kk
(1) 1 2 ) k jj ( 2) k (jj
( 3) ( 2 3) k jj k jj
注意，子结构2包含两个公共界面，为了简单，假 定这两个界面之间无(广义)刚度耦合。 练习：请写出系统(广义)质量矩阵的结构
(r ) (r ) u u (r ) i uj
其中，下标“i”表示内部位移(或 者内部位移自由度数目)，下标 “j”表示该子结构的界面位移(或 者截面自由度数目)。(r)(i+j)=(r)n。
子结构1 子结构2 子结构3
ui
uj
r
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约束子结构方法
与此相对应，子结构的(完整)刚度矩阵和质量矩阵 可以分块表示为
(r )
约束子结构方法
其中，当表达式式的最左端包含子结构序号(r)时， 随后的子结构序号r省略(如kr表示为k)。显然有
(r ) (r )
(r ) k k ( r ) ii k ji
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约束子结构方法
解得：r)v = k+j。在Ritz变换
(r )
Ψ ij k k ij
1 k ij Ψ ij k ii C I I jj jj
由此得到变换关系
xm I mm x m x m Ts x m 1 1 x s K ss K sm x m K ss K sm
缩减后的运动方程：
m K R x m f m M R x
3 4
动力减缩

动力减缩
1 x s K ss (M sm x m M ss x s K sm x m ) 1 [ K ss K sm 1 1 1 K ss (M sm M ss K ss K sm )M R K R ]x m
(r )
Φ ik U nv 0 jk
Ψ ij I jj
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(r )
mkk diag (m p ),
(r )
T mkj m T jk Φ ik (m ii Ψ ij m ij ),
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