○…………外○…………内绝密★启用前 山东省济南市章丘区2019-2020学年高三上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}()()|{2,|}520A x x B x x x =>-=+-≤,则A B =（ ） A ．()2,-+∞ B ．[]22-, C ．(2,2]- D ．[5,)-+∞ 2．设z i i z +=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为（ ） A ．2,201920200x R x x ∀∈++< B ．2,201920200x R x x ∀∈++≤ C ．2,201920200x R x x ∀∈++≥ D ．2,201920200x R x x ∃∈++≥ 4．设a 为非零实数,复数121,2z a i z i a =+=-,则12z z ⋅的最小值为（ ） A B ．3 C ．D ．9 5．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．…………○………………○……C．D．6．若)(3tanπα=+则（）A．tanα=B．tanα=C．tan2α=D．tan2α=7．在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点(),1,O BO DC DB BD⋅-==uuu u r uuu r uu u r uu u r则DA在DB方向上的投影为（）A．2B C．2-D．8．已知函数()322f x x ax x=--+,则“2a≤”是“()f x在()2,4上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．()2221,,0,,42x y z x y z z mxy∀∈+∞++≥-++,则m的取值范围为（）A．(,1]-∞B．(,3]-∞C．(,2]-∞D．(,1]-∞10．已知定义在R上的函数()f x满足()()3221f x f x-=-,且()f x在[1,)+∞上单调递增,则（）A．()()()0.3 1.130. 20.54f f log f<<B．()()()0.3 1.130. 240.5f f f log<<C．()()()1.10.3340.20.5f f f log<<D．()()()0.3 1.130.50.24f log f f<<二、多选题11．将曲线()23()y sin x x sin xππ=--+上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()g x 的图象,则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于直线32x π=对称 B ．()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称 D ．()g x 的图象可由1 2y cos x =+的图象向右平移23π个单位长度得到 12．已知函数()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x = C ．412x << D ．12340 1x x x x << 13．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ',且()()()212x f x f x x x '+-<+对(0,)x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（ ） A ．()()22315f f -> B ．若()12,1f x =>,则()21122f x x x >++ C ．()() 3217f f -< D ．若()12,01f x =<<,则()21122f x x x >++ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题 14．若向量a 与b 互相垂直,且1,2a b ==r r ,则2a b +=__________． 15．若函数()21k f x x x =+-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线510x y +-=垂直，则k =__________． 16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时, () 21f x x =+,则()f x 的解析式为__________．不等式()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为__________． 17．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知()222 abcos A B a b c -=+- (1) tan Atan B =__________． (2)若45 ,2A a ==o ,则c =__________． 四、解答题 18．,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.已知, 6A sin C B π==.(1)若ABC ∆的面积为求b ;(2)若2247c b -=,求ABC ∆的周长. 19．已知()()()()4,2, ,1,2,3,1,6A B m C D .(1)若//AB CD ,求,cos BD AC uu u r uuu r;(2)若向量,,AB BC CD 中存在互相垂直的两个向量,求m 的值.20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如，地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+.(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约1210焦耳，试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? ( 3.2=)21．已知函数()1 11sin x cos x sinx cosxf x sinx cosx sinx cosx +-+=++-1+++(1)化简()f x ,并求()f x 的最小正周期;(2)若()8f a =,求 2cos a ;(3)求()f x 的单调递增区间.22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由. (2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t x g x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点.(i)求t 的取值范围; (ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值. 23．已知函数()()2 ,x f x e ax a g x lnx =--=. (1)讨论()f x 的单调性; (2)用{},max m n 表示,m n 中的最大值，若函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>只有一个零点,求a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】先由二次不等式的解法求B 52,|} {x x =-≤≤再利用集合交集的运算可得{ 2 }2|A B x x =-<≤I ，得解.【详解】解:因为{}2,|A x x =>- ()()52{|}0B x x x =+-≤()()520{|}x x x -≤=+52,|} {x x =-≤≤所以{ 2 }2|A B x x =-<≤I ,故选:C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.2．D【解析】【分析】 先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.3．C【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.【详解】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，即命题“2000,201920200x R x x ∃∈<++”的否定为“2,201920200x R x x ∀∈++≥”， 故选：C.【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题.4．B【解析】【分析】 由复数的乘法运算得1213 2z z a i a ⋅=+-⎛⎫⎪⎝⎭，再结合复数模的运算得12||z z =⋅. 【详解】解：因为1211)(2)3 2z z a i i a i a a ⋅⎛⎫ ⎪⎝=+-=+⎭-（,所以12||3z z ⋅=≥，当且仅当12a a =，即2a =±时，等号成立, 故12z z ⋅的最小值为3.故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算及复数模的运算，属基础题.5．B【解析】【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论.【详解】∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ), ∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ；又x →+∞时，()f x →+∞,排除A,故选：B .【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．D【解析】【分析】 先由()33ππαα=+-，再由两角差的正切公式求出tan α，再利用正切的二倍角公式求出2tan α即可得解.【详解】 解： )33(tan tan ππαα=+-Q ==，7tan 2323149α∴==-， 即选项ABC 错误，选项D 正确，故选：D.【点睛】本题考查了两角差的正切公式，重点考查了正切的二倍角公式，属基础题.7．B【解析】【分析】 由平面向量的线性运算得2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r ，又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r ，BD =uu u r DA 在DB 方向上的投影为BC cos DBC ⋅∠=uu u r .【详解】解：因为()1BO DC DB BO B BO BC c C os DBC ⋅-=⋅=⋅∠=uu u uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r r,所以2BD BC cos DBC ⋅∠=uu u r uu u r .又 ,BC DA ADB DBC =∠=∠uu u r uu u r ，BD =uu u r所以DA cos ADB BC cos DBC ⋅∠=⋅∠==uu u r uu u r故DA 在DB .故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题.8．A【解析】【分析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立， 再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】 解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x -≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.9．B 【解析】【分析】先由重要不等式求得2214x yxy++的最小值为4，再利用配方法求二次函数的最值可得22z z m-++的最大值为1m+，再求解即可.【详解】因为,(0,)x y∈+∞,所以22111444x y xyxy xy xy++≥=+≥==，当且仅当22414x yxyxy⎧=⎪⎨=⎪⎩即121xy⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立.又222(1)11z z m z m m-++=--++≤+，则()2221,,0,,42x y z x y z z mxy∀∈+∞++≥-++等价于14m+≤,解得：3m≤，则m的取值范围为(,3]-∞，故选为：B.【点睛】本题考查了重要不等式及不等式恒成立问题，重点考查了恒成立问题最值法，属中档题. 10．A【解析】【分析】由已知可得()f x的图象关于直线1x=对称.因为0.3 1.130.21log0.5141-<-<-，又()f x在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x的图象关于直线1x=对称.因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题. 11．BD 【解析】 【分析】由三角恒等变换可得()1(2)6x g x sin π+=-，再结合三角函数值域的求法、三角函数图像的对称轴、对称中心的求法逐一判断即可得解. 【详解】解：因为()23sin sin 2x x x ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()1(2)6x g x sin π+=-, 对于选项A ，令62x k πππ-=+，解得23x k ππ=+（k Z ∈），即函数的对称轴方程为23x k ππ=+（k Z ∈），即选项A 错误； 对于选项B ，因为[0,]x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即1(),16 2s i n x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即()g x 在[0,]π上的值域为30, 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即选项B 正确；对于选项C ，令6x k ππ-=，解得6x k ππ=+，即()g x 的图象关于点1,,62k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对称，则()g x 的图象关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故选项C 错误.对于D,由11 222y cos x sin x π⎛⎫ ⎝=+⎪⎭=++的图象向右平移23π个单位长度,得到211= +=sin 232(62y sin x x πππ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭）的图象,故选项D 正确. 则说法正确的是BD ， 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题. 12．BCD 【解析】 【分析】先作出()222,0,0x x x f x log x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图像，再观察图像可得1223242, x x log x log x +=--=，再结合1234x x x x <<<，求解即可. 【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图， 得出1223242, x x log x log x +=--=,则341x x =,故A 错误,B 正确;由图可知412x <<,故C 正确;因为()112112 1,2x x x x x -<<-=--=()()221112110,1x x x --=-++∈,所以()1234120,1x x x x x x =∈,故D 正确.则结论正确的是BCD ， 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 13．CD 【解析】 【分析】先构造函数()()21f x xg x x -=+，再利用导数可得()g x 在(0, )+∞上单调递减,再利用函数的单调性判断四个命题即可得解. 【详解】解：设函数()()21f x xg x x -=+，则()g x '=()()()()()22211f x x x f x x x '-+--⎡⎤⎣⎦+()()()()()22121x f x f x x x x '+--+=+ 因为()()()21 2x f x f x x x '+-<+,所以()'0g x <,故()g x 在(0, )+∞上单调递减,从而()()()123g g g >>,整理得()()22 315f f -<，()()3 217f f -<,故A 错误,C 正确.当01x <<时,若()12f =,因为()g x 在(0, )+∞上单调递减,所以()()112g x g >=即()21+12f x x x ->,即()21122f x x x >++.故D 正确,从而B 不正确. 即结论正确的是CD ， 故选：CD. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的单调性，属中档题.14 【解析】 【分析】由向量模的运算2a b +=r r.【详解】解：因为向量a 与b 互相垂直,可得0a b ⋅=，又1,2a b ==r r，则2a b +===r r【点睛】本题考查了向量模的运算，属基础题. 15．3 【解析】 【分析】先求原函数的导函数()22,kf x x x'=+再利用导数的几何意义可得()125,f k '=+=得解. 【详解】解：因为()21k f x x x=+-， 所以()22,k f x x x'=+由已知有()125,f k '=+= 即3k =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.16．()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩∞(-,1)【解析】 【分析】先由函数为奇函数，结合0x <时, () 21f x x =+,求函数解析式即可；再分0x ≤时，0x >时求解不等式即可得解. 【详解】解：设0x >，则0x -<，由函数为奇函数，可得()()f x f x =--， 则()[2()1]21f x x x =--+=-， 又(0)0f =，则()21,00,021,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩，当0x ≤时，()111,22x f x -⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭,所以()112x f x -⎛⎫⎪⎝⎭<;当0x >时,设()11()2x h x f x -⎛⎫- ⎪⎝⎭=11212x x -⎛⎫⎪⎝⎭=--，则函数()h x 为增函数，又111(1)211()02h -=⨯--=，即()0h x <的解集为()0,1，即()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为()0,1.综上()112x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭<的解集为∞(-,1).故答案为：∞(-,1). 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了解分段函数对应的不等式，属中档题. 17．35【解析】【分析】(1)由余弦定理可得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得 3tan B =，再由正弦定理可得sin sin 5a C c A ==，得解. 【详解】解：(1)由()222abcos A B a b c -=+-,得()2222 2 2a b c cos A B cos C ab+--=⨯=,而() cos C cos A B =-+,所以() 2cosAcosB sinAsin B cosAcosB sinAsinB +=--， 即3 0cos Acos B sin Asin B -=,故 3 sin Asin Btan Atan B cos Acos B==.(2)因为45A =o ,所以1tanA =,则 3tan B =,所以 1010sin B B ==，从而() 2sin C sin A B =+=+=⎝⎭由正弦定理得sin sin a c A C =,则sin sin a C c A ==，故答案为：(1). 3 (2). . 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题. 18．(1) 2b =.(2) 1+【解析】 【分析】(1)由已知 sin C B =，结合正弦定理可得c =，再结合三角形的面积公式12S bcsinA =，将已知条件代入运算即可；(2)由2247c b -=，结合余弦定理得2222 148237a b c bccos A =+-=+-⨯=,得解. 【详解】解:(1)由 sinC B =,得c = . 因为ABC △的面积为21124S bcsinA bc ====所以2b =.(2)因为2247,c b c -==,可得1,b c ==由余弦定理得2222 148237a b c bccos A =+-=+-⨯=,所以a =故ABC △的周长为1+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题. 19．(1)(2) 1m =或4m =-. 【解析】 【分析】(1)由//AB CD ，利用平面向量的坐标运算可得133m =，再由向量的夹角公式可得,65BD AC cos BD AC BD AC⋅==uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r ，得解；(2)分别讨论若AB BC ⊥,AB CD ⊥uu u ruu u r，BC ED ⊥uu u ruu u r，再求解即可. 【详解】解:(1)()()4,1, 1,3AB m CD =--=-uu u r uu u rQ ， ∴由//AB CD ,得()13341,3m m -=∴=10,53BD ⎛⎫∴ -⎪⎭=⎝uu u r ，又()2,1,,65BD AC AC cos BD AC BD AC ⋅=-==∴uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(2)()()()4,1,2 ,2,1,3AB m BC m CD =--=-=-uu u r uu u r uu u r，若AB BC ⊥,则()()4220m m ---=, 即26 100,0m m -+=∆<,方程无解. 若AB CD ⊥uu u r uu u r，则430m --=,解得1m =. 若BC ED ⊥uu u r uu u r，则 260m -+=,解得4m =-. 综上, 1m =或4m =-. 【点睛】本题考查了向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 20．(1) 破坏性地震 (2) 32倍 【解析】 【分析】(1)先阅读题意，再计算12 10 4.8= 4.81.5lg M -=，即可得解；(2)结合地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为4.8 1.5lgE M =+，再求出12 ,E E ，再求解即可.【详解】解:(1)当某次地震释放能量约102焦耳时,1210E =，代入 4.8 1.5lg E M =+,得12 10 4.812 4.8= 4.81.5 1.5lg M --==.因为4. 8 4.7>,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为12,E E . 由题意知,12 16.8, 18.3lg E Ig E ==，即16.818.31210 , 10E E ==,所以 1.52110E E ==3.2=,得2132E E = 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震的32倍. 【点睛】本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属中档题.21．(1) ()in =2s f x x,最小正周期2π. (2)78(3) 2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【解析】 【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式可得()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos222x x x f x x x x +=+2sin x =，得解； (2)由（1）得14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-，得解；(3) 设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,再求解即可.【详解】解:(1)因为()222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos222x x x f x x x x +=+222cos 2sin cos sin cos222222sin 2sin 2sin cos cos sin22222x x x x x x x x x x x ++=+=+， 所以最小正周期 2T π=. (2)因为()8f a =,所以14sin α=，所以27 212 8cos sin a α==-； (3)设u sinx =,因为函数2y u=在(,0),(0,)-∞+∞上为减函数，所以要求()f x 的单调递增区间，即求 u sin x = (x k π≠，且 2,2x k k Z ππ≠-+∈)的单调递减区间,所以()f x 的单调递增区间为2,2()()2k k k Z ππππ--∈和()()2,22k k k Z ππππ++∈.【点睛】本题考查了三角恒等变形及三角函数的单调区间的求法，重点考查了三角函数的定义域，属中档题.22．(1) 不存在.理由见解析；(2) (i) 41t <<- (ii) 32【解析】 【分析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160k k k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即32B A n m x x +-=-=，因为25+=+510≤+=，代入运算可得解. 【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，.所以()216 161 160k k k k ∆=-+=->,解得k 0<.由韦达定理得121211,4k x x x x k++==所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-.(i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-.(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .由244x x t --=,得A m x ==由248x x t -=,得B n x ==所以3 2B A n m x x +-=-=因为25+=+510≤+=，所以当32t =-故n m -【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.23．(1) ()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2) )1, [⎪⎪⎩+∞⎭U 【解析】 【分析】(1)先求函数的导函数()'2xf x e a =-，再讨论0a ≤时, 0a >时,函数()f x 的单调性即可；(2)分别讨论函数()()(){}(),0h x max f x g x x =>在当1,() x ∈+∞，当1x =时，当()0,1x ∈时,函数()h x 零点个数，然后结合函数在(0, )+∞的零点个数即可得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域为R ,且()'2xf x e a =-.当0a ≤时,() 0f x >对x ∈R 恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时,令()0f x '=,得() 2x ln a =,当(),2()x ln a ∈-∞时,()0f x '<;当()2,()x ln a ∈+∞时,()0f x '>. 所以()f x 在()(),2ln a -∞上单调递减,在())(2,ln a +∞上单调递增，.(2)①当1,() x ∈+∞时, () 0g x ln x =>,从而()()(){}() ,0h x max f x g x g x =≥>,所以()h x 在(1, )+∞上无零点， ②当1x =时, ()13f e a =-,若()()(){}(),11,1103ea h max f g g ≥===,所以1x =是()h x 的零点; 若()()(){}() ,11,1103ea h max f g f <==>,所以1x =不是()h x 的零点.③当()0,1x ∈时, ()l 0g x n x =<,所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.()f x 在()0,1上的零点个数()0f x ⇔=在()0,1上实根的个数21xe a x ⇔=+在()0,1上实根的个数.令函数()(),0,121xe x x x ϕ=∈+,则()()()22121xx e x x ϕ-'=+,所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1(,1)2上单调递增；又()01ϕ=，()31e ϕ=，22e ϕ⎛⎫⎪⎭= ⎝，当2a <或1a ≥时，()f x 在()0,1上无零点;当2a =或13ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有唯一零点，23ea ≤<时, ()f x 在()0,1上有两个零点，综上可得：当2a <时，()h x 在(0, )+∞上有无零点,当2a =时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,1a <<时，()h x 在(0, )+∞上有2个零点, 当1a ≥时，()h x 在(0, )+∞上有1个零点,则()h x 在(0, )+∞上有唯一零点, a的取值范围为)1, [⎪⎪⎩+∞⎭U .【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用函数研究函数的单调性及函数的大致图像，属难度较大的题型.。