传染病的传播和隔离措施摘要传染病由病毒导致，具有很强的传播性，若不加以控制，后果将十分严重。
本文通过对传染病传播人数变化建立模型，就相关问题进行了解答。
针对问题一、问题二以及问题三，利用题目给出的条件，通过计算传播病毒人数，建立递归数学模型，经计算得到发病第11、12、13日需要隔离的人数分别为7951213、33542029、134660890，病毒携带者的人数分别为33912837、240977916、1453135464，这3天发病者人数分别为719604、684612、7022781。
针对问题四，通过改变隔离的时间寻找最优解，得到提前五天时隔离的方法最好，即需控制的人数以及需要控制的时间最少。
在文章的最后，分析了模型的优缺点，给出了模型的若干推广。
关键字：传染病隔离递归方程最优解1 问题重述某传染病由一种病毒导致，凡感染此病毒者必然导致发病。
现作如下假设：（1）患者在感染该种病毒至发病期间称为病毒携带者，此段时期称为该病的潜伏期。
设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。
设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。
凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。
（2）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触。
（3）该病毒在某一个人身上最先发现。
从该患者发病当日(第1日)算起至第10日决定采取隔离措施以阻断传播途径；第11日起，凡与该种病患者（发病当日算起3日内）有过亲密接触者均隔离，隔离时期均为3天。
试计算：1、第11、12、13日需要隔离的人数（含前日已隔离者）。
2、第11日起（含）病毒携带者的人数。
3、第11日起（含）未来三天每天发病者人数。
4、有没有更好的隔离方法？如有，请说明方法及根据。
5、假设潜伏期为2到3天，且服从分布为与病毒携带者亲密接触者人数服从参数为的泊松分布，与之接触者染上病毒概率为0.50。
2 问题分析分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。
在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人左右亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。
在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。
第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。
以后的情况以此类推。
由于在发病3=λ第11日时以后开始采取隔离措施，患病人数将发生变化。
对问题（1），求发病第11、12和13日需要隔离的人数，可根据传染病传播的规律，计算出感染此病、处于潜伏期以及发作期的患者数目，通过递归的方法求出发病第11、12和13日需要隔离的人数。
对问题（2）和（3）求解发病第11、12和13日病毒携带者和每天感染病毒的人数，可用类似的方法进行求解。
传染病发展方式3 符号约定4 模型假设（1）设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。
（2）设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。
凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。
（3）该病毒由一个人开始传播。
（4）发病者在被隔离的当天不传染给任何人。
（5）传染时每一个处于潜伏期或者发病期的患者，接触人员没有交叉。
（6）发病者不会痊愈。
（7）被隔离者仍会发病且为病毒携带者。
（8）在统计期间没有病毒携带者死亡。
（9）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触且不会重复接触。
（10）从第11天开始隔离，隔离所以与病患接触过的人员，包括前10天发病者接触的人。
5模型的建立和求解5.1 模型的分析分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。
在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。
在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。
第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。
以后的情况以此类推，可通过递归的方法进行求解。
由于在发病第11日时以后开始对与患者有过亲密接触的人采取隔离措施，患病人数将发生变化。
本文将分阶段进行讨论。
5.2 模型的建立（1）根据以上分析，可得到发病的前10天处于各种阶段的患者人数：t-天处于潜伏期第二天的患者，那么有第t天发病的人数是1()()1=-。
a tb tt-天处于潜伏期第一天的患者，那么有第t天处于潜伏期第二天的患者是1()()1=-。
b t d tt-天处于被感染当天的患者，那么有第t天处于潜伏期第一天的患者是1()()1=-。
d te t第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数，那么有()()()()e t a t a t d t=++。
333第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者的人数总和，那么有()()()()=++。
p t b t d t e t（2）发病10天后处于各种阶段的患者人数：发病10天后，开始进行隔离，患病人数的组成将发生变化。
因此，第t天发t-天处于潜伏期第二天的患者，那么有病的人数是1()()1=-。
a tb tt-天处于潜伏期第一天的患者，那么有第t天处于潜伏期第二天的患者是1()()1b t d t=-。
t-天处于被感染当天的患者，那么有第t天处于潜伏期第一天的患者是1()()1=-。
d te t第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数与前3天被隔离患者能传染的人数之差，那么有()()()()()()()=++------。
e t a t b t d t a t a t a t313233第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者以及t天来发病者的人数总和，那么有()()()()=++。
p t b t d t e t第t天隔离的病患者为()()()=+-61h t a t h t5.3 模型的求解t≤时，患者数目有以下关系：通过以上分析知道，当10()()()()()()()()()()()()()()3*111e t a t b t d t a t b t b t d t d t e t p t b t d t e t ⎧=++⎡⎤⎣⎦⎪=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪=++⎩当11t ≥时，患者数目由以下关系：()()()()()()()()()()()()()11161e t a t b t d t a t e t b t d t d t e t h t a t h t =++⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪=+-⎩初始条件为：发病第一天只有一人，即()11a =；发病第11日隔离的人数为()()()()1011061039t h a t a a ==++∑利用MATLAB 编程求解，得到发病13天以来的患者情况，如表 1：那么，可以得到发病第11、12和13日累计隔离人数、携带病毒人数和每天发病人数，如表 2所示：6 问题（4）的求解通过上一个模型的求解分析，可以得出：当提前隔离的天数不超过5天时，能传播病毒的人数迅速减少；当提前的天数超过3天时，能传播病毒的人数改变并不明显。
在实际生活中很难做到早发现早隔离，因为在实际生活中当有一种未知的传染病开始在人群中传播，初期很难发现它为传染性疾病，当受传染的人数增长很快同时数量很多时，经过医学鉴定才可以断定为传染性疾病，所以在该问题中提前隔离最好做到5天，低于5天不太切合实际。
7 问题（5）的求解将感染的人分为两种，分别为潜伏期为2天的()e t ,与潜伏期为3天的()'e t ，设潜伏期第三天的人数为()s t由前一模型推广可得，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()'''''0.6!0.4!3432211ii e e t a t b t d t i e e t a t b t d t i a t e t e t s t e t b t e t e t d t e t e t p t b t d t e t λλλλ--⎧=⨯++⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎪=⨯++⎡⎤⎣⎦⎪⎪=-+-⎪⎪=-⎨⎪=-+-⎪⎪=-+-⎪⎪=++⎪⎪⎩其中，3λ=。
8模型评价1、本模型简单，易懂，操作性强，适应范围广。
2、本模型在考虑疾病传染时没有计算交叉感染的人群，且每天传染人数与传染概率为固定值，与实际情形不符。
3、在计算时没有考虑治愈人群，而且发病者在隔离当天仍有可能传染给其他人。
4、本模型还没有考虑病毒携带者死亡的情形。
参考文献[1]卓金武，MATLAB 在数学建模中的应用，北京航空航天出版社，2004。