第五章 广义逆矩阵广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。
第一节 广义逆矩阵的概念对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。
但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。
这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。
若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式AA －1A =AA －1AA －1=A －1(AA －1)H =AA －1(A －1A )H =A －1A若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。
定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。
由上定义可知，广义逆阵有1544342414=+++C C C C 种之多。
为了方便，引进一些记号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。
同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。
如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。
在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。
我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。
为此先了解一下线性方程组的解的问题。
根据线性方程组Ax =b 是否有解，可把线性方程组分为两大类。
第一类是有解方程组，又称相容方法组；第二类是无解方程组，又称不相容方程组或矛盾方程组。
对于第一类方程组，若A 是列满秩的，则有惟一解；否则，有无穷多解。
我们从中挑选出2－范数极小的解，即所谓的极小范数解2||||min x bAx = 对于第二类方程组，其根本就没有解。
但实际问题中经常要求出近似解2||||min b Ax n Cx -∈ 即最小二乘解；如果方程组的最小二乘解有无穷多个，我们也从中挑出2－范数极小的解，即极小范数最小二乘解2||||min ||||min 2x b Ax -第二节 A －与相容线性方程组的通解我们把广义逆矩阵A (1)记为A －，称为A 的减号逆或g -逆，即AA －A =A例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。
下面将证明任何矩阵的减号逆都是存在的。
定理1 设n m r C A ⨯∈，并且存在m m m C P ⨯∈，n n n C Q ⨯∈，使Q O O O E P A r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 则}1{A G ∈的充分必要条件是12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r （1） 其中G 12、G 21、G 22是具有相应阶数的任意矩阵。
证明 充分性。
直接验证便得。
必要性。
设}1{A G ∈，则Q O O O E P Q O O O E QGP O O O E P r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛两边同左乘以P －1，右乘以Q －1，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E Q O O O E QGP O O O E r r r 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QGP 代入上式，有G 11=E r ，从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222112G G G E QGP r 这里的G 12，G 21，G 22是具有相应阶数的任意矩阵，故有12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G E Q G r 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不惟一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
例 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210121A 求A －解 经过初等变换可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10211P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1002105011Q 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G E Q A 其中t 1、t 2是任意数。
定理2 设n m C A ⨯∈，}1{A A ∈-，则}1{A G ∈的充分必要条件是W A A E AA E V A G n m )()(----+-+= （2）其中V 、W 是具有相应阶数的任意矩阵。
证明 充分性。
由A AW AAW A AVA AVA A AW AAA AW A A AVAA AVA A W AA A E A A AA E AV A AA AGA n m =-+-+=-+-+=-+-+=-----)()(知}1{A G ∈。
必要性。
设}1{A G ∈，令V =G －A －，W =VA A －，并注意到O A A A AA AGA A A G A AVA =-=-=-=--)(有WA A E AA E V A VAA A A E AA E V A A AVA A A G A G n m n m )()()()()()(------------+-+=-+-+=--+=定理于此证毕。
（1）式和（2）式以后都称为矩阵A 的减号逆的一般表达式。
减号逆有下面一些基本性质：性质1 --=)()(H H A A性质2 A A A A A A H H =-)(，H H H H A AA A A A =-)(即H H A A A -)(、-)(A A H 分别是A 、A H 的减号逆。
证明 因为 OA A A A E A A A A A A A A A A A A E A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H =--=--=--=---------)]()([])(][)([])(][)([])([])([并考虑到对任意矩阵B ，如果B H B =O ，那么B =O ，有A (A H A )－A H A －A =O这就证明了第一个等式，对第一个等式两边转置就得到第二个等式。
性质3 AGA=A 的充分必要条件是 A H AGA=A H A 。
证明 必要性是显然的，下面证充分性。
设A H AGA=A H A 即 A H AGA －A H A =O 因为OA A AGA A E G A A AGA A A G A A AGA A AGA H H H H H H H H H =--=--=--))(())(()()( 所以AGA －A =O也就是AGA =A性质4 rank(A －)≥rank(A )证明 根据矩阵秩的性质，可得rank(A －)≥rank(AA －)≥r (AA －A )=r (A )用减号逆可以把相容方程组的通解很简明地表示出来。
定理3 设A －是n m C A ⨯∈的一个减号逆，则相容方程组Ax =b 的通解为x = A －b +(E n －A －A )c其中c 是C n 中的任意向量。
证明 由Ax =b 相容知，存在x 0∈C n 使Ax 0=b 。
从A [A －b +(E n －A －A )c ]=AA －b =AA －Ax 0=Ax 0=b可知（3）式是Ax =b 的解。
设x 0是Ax =b 的任一解，即Ax 0=b ，因而0000)(x A A E b A Ax A x b A bA x b A x n -------+=-+=-+=这说明Ax =b 的任一解x 0均可由（3）式表示出来。
故（3）式是Ax =b 的通解。
第三节 -m A 与相容线性方程组的极小范数解定义1 设A ∈C m ×n ，称同时满足AGA =A（1） (GA )H =GA（2）的G ∈C n ×m 为矩阵A 的极小范数广义逆，记为-m A 或A (1，4)。
上面的定义中G 要满足的两个方程（1）和（2）可以用一个方程GAA H =AH （3）来代替。
事实上，由（1）式和（2）式可得A (GA )H =A两边取转置共轭有GAA H =A H反之，把（3）式两边右乘以G H 得GAA H G H =A H G H即 GA (GA )H =(GA )H（4） 两边取转置共轭(GA )(GA )H =GA（5） 比较（4）式（5）式，有(GA )H =GA代入（3）式得(GA )H A H =A H即AGA =A矩阵的极小范数广义逆-m A 与(AA H )－有着密切的关系。
定理1 设n m r C A ⨯∈，则--=)(H H m AA A A（6） 证明 因(AA H )－是减号逆，故(AA H )(AA H )－(AA H )=AA H若A =BC 为A 的满秩分解，则上式可写为AA H (AA H )－BCC H B H =BCC H B H用B(B H B)－1(CC H )－1C 右乘上式两边，得AA H (AA H )－BE r E r C =BE r E r C即AA H (AA H )－A =A这表明A H (AA H )－满足（1）式。
又因[A H (AA H )－A ]H =A H (AA H )－A所以A H (AA H )－满足（2）式。
定理1说明-m A 通常也不惟一，而（6）还给出了计算-m A 的一种方法。
在上节中，给出了相容线性方程组Ax =b 的通解，现在，欲从这所有解中，求范数极小的解（或称LN 解），即求减号逆G ，使22||||min ||||x Gb bAx == 定理2 向量x =Gb 是相容线性方程组Ax =b 的极小范数解的充分必要条件是G ∈A {1，4}证明 充分性。
设G ∈A {1，4}⊆A{1}，则线性方程组Ax=b 的任一解可表示成x =Gb +(E －GA )c （c 为任意向量）的形式。
因此),)(())(,())(,)((),())(,)((||)(||||||2222Gb c GA E c GA E Gb c GA E c GA E Gb Gb c GA E Gb c GA E Gb c GA E Gb x -+-+--+=-+-+=-+= 由于Ax =b 是相容的，从而有解x 0Ax 0=b 。