AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义 不同的广义逆矩阵。
因此，共可定义 C41 C42 C43 C44 15 类不同的广义逆。
由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外， 其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。
存在性证明
设 rankA r, 若 r 0, 则A是 m n 阶零矩阵，可以 验证 n m阶零矩阵满足四个方程。
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
G A Y A AYAA
此定理表明：只要求出 A中1 的一个元素，就可得到 A1 中所有的元素。
广义逆矩阵A+的计算：方法一 利用满秩分解
如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即
A C H (CC H )1(BH B)1 BH
如果A是非奇异矩阵，则 A1 C并1B且1 由上面的公式 计算出 A ，C从1B而1
方程 AXA A
(P1 )
XAX X
AX H AX
(P2 ) (P3 )
---广义逆矩阵方程
XAH XA (P4 )
则称X为A的Moor –Penrose逆，记为A+
例：容易由定义直接验算：
若 A 1 1,
0 0
则
1 0
A
2 1
2
0
定理 设 A C mn，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组 有唯一解 X C nm
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
容易验证B 1 0 0, C 1 0 0
0 1 0 0 0 1
均满足 ABA A, ACA A, 故B，C都是A的减号逆.
3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，
此时
A-=A-1
定理 A{1}的表示通式
设A Crmn，A A{1}是一个给定的广义逆， Y C nm是任意矩阵 , 则A{1}的通式为
A A1
因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。 广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不 同。
如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A = Im A，
则A+的表达式为 A AH ( AAH )1
如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A = A I n， 则A+的表达式为
A ( AH A)1 AH
广义逆矩阵方程
设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1， 它具有如下性质：
AA1 I
A1 A I
AA1 A A
A1 AA1 A1
或者说， A-1是下述矩阵方程组的解
AXA A
(P1 )
XAX X
AX H AX
(P2 ) (P3 )
XAH XA (P4 )
设 A C mn , 若矩阵 X C nm 满足如下四个（Penrose)
几种常用的广义逆矩阵
A{1},它的形式记为 A
A{1,2},它的形式记为
Ar --自反广义逆
A{1,3},它的形式记为
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
则容易验证： A VDU H .
其中
D
1 0
0 0
广义逆集合 对于矩阵 A C mn ，记
A{i} ={ G Cnm |G满足第i个Penrose方程} A{i,j} ={ G Cnm |G满足第i,j个Penrose方程}
A{i ,j ,k} ={ G Cnm |G满足第i,j,k个Penrose方程}
各类广义逆的关系
{A} A{1,2,3,4} A{i, j,k} A{i, j} A{i}
把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的 广义逆矩阵。
广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆 时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性 方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。
主要内容： 1·广义逆矩阵及其分类 2·A+的计算 3·几类弱逆 4·广义逆矩阵与线性方程组的解1Biblioteka 2 010
101
6 1
11 6
2 3
3
1
2
6 1
1 1
2
1 1
1 4
33
1 1
1 2 5 6
1 2 6 5
广义逆矩阵A+的计算：方法二－－奇异值法
设矩阵 A C的rmn奇异值分解为A=UDVH 其中U , V 分别是m阶、n阶酉矩阵，
D
0
00, diag(1, 2, , r )
特别地，设 为n维列向量，且 0, 则 ( H)1 H
设 为n维行向量，且 0, 则 H ( H )1
例１：
求广义逆
1 A 1
0 1
0 0
解 由于A是行满秩的，故
A AH ( AAH ) 1
1 0
0
1 0
0
1
1 1
1 0
[11
0 1
0 0
0 0
1]1 1
1 1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表 示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线 性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？
矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行 满秩也不是列满秩
首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：
1 2 0 1 H 0 0 1 1,
0
设A的满秩分解为 A
0
0
BC
0
，则
B
2 1
1 1 ,
C 1 2 0
1
1 2
0 0 1 1
于是
A C H (CC H )1(BH B)1 BH
11
1 1 2
1 1 0
0 1 0
例２：设
1 A 2,
3
求 A
由A为列向量，即为列满秩，则 A ( AH A)1 AH
从而 A 1 1 2 3
14 若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩
分解，再求 A
例３：已知
2 A 1
4 2
1 1
1 2,
求 A
1 2 2 1