分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解
一、分式
1、分式的概念
一般地,用A 、B 表示两个整式,A ÷B 就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B A 就叫做分式。
其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
(1)分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
(2)分式的变号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
3、分式的运算法则
;;bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b
a b a n n n = ;c
b a
c b c a ±=± bd
bc ad d c b a ±=± 二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是:
(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程
的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的值
【例1】(2015·黑龙江绥化)若代数式6
265x 2-+-x x 的值等于0 ,则x=_________.
【点睛】分式6
265x 2-+-x x 的值为零则有x 2-5x+6为0分母2x-6不为0,从而即可求出x 的值. 【举一反三】
1.要使分式x 1x 2
+-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=-
2.(2015·湖南常德)若分式211
x x -+的值为0,则x = 考点典例二、分式的化简
【例2】化简:2x x x 1x 1
---=( ) A 、0 B 、1 C 、x D 、
1
x x -
【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。
利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【举一反三】 1.化简22
a b ab b a
--结果正确的是【 】
2.若241()w 1a 42a
+⋅=--,则w=( ) A.a 2(a 2)+≠- B. a 2(a 2)-+≠ C. a 2(a 2)-≠ D. a 2(a 2)--≠- 3.计算:
2111a a a -=-- 考点典例三、分式方程
【例3】(2015自贡)方程01
12=+-x x 的解是( ) A .1或﹣1 B .﹣1 C .0 D .1
【点睛】先去掉分母,观察可得最简公分母是x+1,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解。
【举一反三】
1.(2015攀枝花)分式方程
1311
x x =-+的根为 . 2.(2015绵阳)(8分)解方程:311221x x =-++. 考点典例四、分式方程的应用
【例5】((2015遂宁)遂宁市某生态示范园,计划种植一批核桃,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求,现决定改良核桃品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划每亩平均产量x 万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克,根据题意列方程为( )
A .
36369201.5x x +-= B .3636201.5x x -= C .36936201.5x x +-= D .36369201.5x x ++=
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数,找出等量关系,列出方程求解.
【举一反三】
1..甲乙两地相距420千米,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍,进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.设原来的平均速度为x 千米/时,可列方程为( )
A .42042021.5x x +=
B .42042021.5x x -= C. 1.52420420x x +=D . 1.52420420
x x -= 2.甲、乙两地之间的高速公路全长200千米,比原来国道的长度减少了20千米.高速公路通车后,某长途
汽车的行驶速度提高了45千米/时,从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半.设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x 千米/时,根据题意,下列方程正确的是( )
A .2001801452x x =⋅+
B .2002201452x x =⋅+
C .2001801452x x =⋅-
D . 2002201452x x =⋅- 课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)关于x 的分式方程
52a x x =-有解,则字母a 的取值范围是( )
A .a =5或a =0
B .a ≠0
C .a ≠5
D .a ≠5且a ≠0
2.(2015·辽宁营口)若关于x 的分式方程2233x m x x
++=--有增根,则m 的值是( ). A .1m =- B .0m = C .3m = D .0m =或=3m
3.(2015·湖南常德)分式方程
23122x x x
+=--的解为:( ) A 、1 B 、2 C 、13
D 、0 4.(2015·山东济宁)解分式方程22311x x x 时,去分母后变形正确的为( ) A .2+(x+2)=3(x-1) B .2-x+2=3(x-1)
C .2-(x+2)=3
D . 2-(x+2)=3(x-1)
二.填空题
5. (2015·湖北衡阳,16题,3分)方程
132x x =-的解为 . 6.(2015·湖北襄阳,14题)分式方程
2110051025x x x 的解是 . 7.分式方程212011
x x +=--的解是__________. 8.若分式方程1x x -﹣1m x
-=2有增根,则这个增根是 . 9.(山东威海,第16题,4分)分式方程
的解为 .
三、解答题 10.计算:22a 1a 1a 2a a
--÷+.
11.先化简,再求值:2221a a a 1a a 2a 1
+⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭,其中2a a 20+-=. 12.先化简,再求值:22x 9x 3x x 8x 16x 4x 4
--÷-++++
,其中x 4=. 13.先化简,再求值:222x 1x 12x x x ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭
,其中x 1= 14. (2015·山东枣庄,第19题,8分)(本题满分8分) 先化简,再求值:x x x x x x x -++÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+-144214222,其中x 满足x ²-4x+3=0 15.(2015·山东泰安,第25题)(8分)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫,甲种款型共用了7800元,乙种款型共用了6400元,甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍,甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
(1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件?
(2)商店进价提高60%标价销售,销售一段时间后,甲款型全部售完,乙款型剩余一半,商店决定对乙款型按标价的五折降价销售,很快全部售完,求售完这批T 恤衫商店共获利多少元?
16.(2015·山东济南,第24题,8分)(8分)济南与北京两地相距480km ,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达,已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍,求高铁列车的平均行驶速度.
17.(2015·辽宁大连)甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个,甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等,求甲乙两人每小时各做多少个零件?
18.(2015.宁夏,第17题,6分)解方程:221111
x x x x --=-- 19. (2015.北京市,第21题,5分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车
供市民使用.到2013年底,全市已有公租自行车25000辆,租赁点600个.预计到2015年底,全市将有公租自行车50000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计2015年底,全市将租赁点多少个?。