§2.2 谓词公式及其解释
习题2.2
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）))()((y x Q x P x ，→∀
（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀
解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →；x 是约束变元，y 是自由变元。

（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；
)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是y ∃的约束变元。

（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，
)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。

2. 设个体域}21
{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。

（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃
解（1）解释1I ：个体域}21
{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

（2）解释2I ：个体域}21
{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。

（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀
（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀
解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。

成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，2:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。

（2）成真解释：个体域D ＝{1,2,3}，0:)(<x x P ，2:)(>y y Q ，3:),(>+y x y x R 。

成假解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(>x x P ，0:)(>y y Q ，1:),(<+y x y x R 。

4. 给定解释I 如下：
个体域R =D （这里R 为实数集合）。

个体常元0=a 。

二元函数y x y x f -=)(，。

二元谓词y x y x P =：，)(，y x y x Q <：，)(。

在解释I 下，下列公式的含义是什么？哪些成为命题哪些不成为？成为命题的其真值又
如何？ （1）))()((y x P y x Q y x ，，⌝→∀∀
（2）))())(((y x Q a y x f P y x ，，，→∀∀
（3）)))(()((a y x f P y x Q y x ，，，⌝→∀∀
（4）))())(((y x P a y x f Q y x ，，，→∀∀
解（1）公式被解释成“)(y x y x y x ≠→<∀∀”，为真命题。

（2）公式被解释成“)0(y x y x y x <→=-∀∀”，为假命题。

（3）公式被解释成“)0(≠-→<∀∀y x y x y x ”，为真命题。

（4）公式被解释成“)0(y x y x y x =→<-∀∀”，为假命题。

5. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。

（1）)()(x xP x P ∃→ （2）)()(x P x xP →∃
（3）)()(x xP x P ∀→ （4）)()(x P x xP →∀
（5）))()((x P x P x ⌝→∀ （6）)()(y x xP y y x yP x ，，∀∀→∀∀
（7）)()(x y yP x y x yP x ，，∀∀→∀∀ （8）)()(y x yP x y x yP x ，，∀∃→∃∀ （9）)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃
（10）))()((x y P y x P y x ，，→∀∀ 解（1）因为当存在某个x 使)(x P 取1时)(x xP ∃一定取1，所以公式是为永真式。

（3）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。

在1I 下公式的前件与后件均为真，所以公式为真，即不是永假式。

取解释2I ：个体域仍为自然数集合，但)(x P 取为0>x 。

在2I 下公式不成为命题，即不是永真式。

综合知公式为可满足式。

（5）取解释1I ：个体域为自然数集合，
0)(2≥x x P ：。

在1I 下，对任意的x ，)(x P 为真而)(x P ⌝为假，所以公式为假，即不是永真式。

取解释2I ：个体域仍为自然数集合，
但)(x P 取为02<x 。

在2I 下，对任意的x ，)(x P 为假而)(x P ⌝为真，所以公式为真，即
不是永假式。

综合知公式为可满足式。

（7）公式为永真式，用非形式化的反证法证明如下：若公式非永真，则存在一个解释，使得)(y x yP x ，∀∀取1而)(x y yP x ，∀∀取0。

)(x y yP x ，∀∀取0表明存在某对00,y x 使得)(00x y P ，取0，从而)(y x yP x ，∀∀也应取0。

这与前面说)(y x yP x ，∀∀取1矛盾。

故
公式是永真式。

（9） 设I 为任意一个解释，个体域为D 。

若)(y x yP x ，∀∃取1，即存在D x ∈0，使得)(0y x yP ，∀为真，从而)(y x xP y ，∃∀为真，故)()(y x xP y y x yP x ，，∃∀→∀∃为真。

所以在解释I 下公式为真，由I 的任意性可知，公式为永真式。

（2）、（4）、（6）、（8）、（10）略。

6. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。

（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀
（2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀
（3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝
（4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀
（5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀
（6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝，
（7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→
解 略
7. 给出一个非闭式的永真式，给出一个非闭式的永假式，给出一个非闭式的可满足式。

解 略。