现代信号处理作业1.(5″)证明下面定理：任何一个无偏估计子方差的下界叫作Cramer-Rao 下界 定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若ˆθ是θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂存在，则221ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θθθθθ=-≥∂∂式中ˆln (|)()()f x K θθθθθ∂=-∂。

其中()K θ是θ的某个不包含x 的正函数。

2.(10″)Wiener 滤波是信号处理中最常用和基础的波形估计工具之一，对其在自己研究领域的应用情况进行一个简单综述。

3.(5″)二阶滑动平均过程由2()()1(1)2(2),{()~(0,)}x n w n b w n b w n w n N σ=+-+-定义，式中2(0,)N σ表示正态分布，其均值为零、方差为2σ。

求x(n)的功率谱。

4.(20″)信号的函数表达式为：()sin(2100)sin(2300)()sin(2200)()()x t t t A t t dn t n t πππ=++++，其中，A(t)为一随时间变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz ，采样时间为2.048s 。

(1) 利用现代信号处理知识进行信号的谱估计； (2) 利用现代信号处理知识进行信号的频率提取； (3) 分别利用Wiener 滤波和Kalman 滤波进行去噪； (4) 利用Wigner-Ville 分布分析信号的时频特征。

5.(10″)附件中表sheet1 为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA 方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。

1、定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若参数估计ˆθ是真实参数θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂、22(|)/f x θθ∂∂存在，则ˆθ的均方误差所能达到的下界（称为Cramer-Rao 下界）等于Fisher 信息的导数，即：221ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θθθθθ=-≥∂∂ （1-1）不等式中等号成立的充分必要条件是：ˆln (|)()()f x K θθθθθ∂=-∂ （1-2） 其中()K θ是θ的某个正函数，与样本1(,,)N x x x =无关。

证明：由假设条件知，ˆ{}E θθ=或ˆ{}0E θθ-=，因此有1ˆˆ{}()()0N E f x dx dx θθθθθ∞∞-∞-∞-=-=⎰⎰（1-3）对上式两边求关于θ的偏导，得ˆˆˆ{}()()[()()]0E f x dx f x dx θθθθθθθθθθθ∞∞-∞-∞∂∂∂-=-=-=∂∂∂⎰⎰即有ˆ()()()0f x dx f x dx θθθθθ∞∞-∞-∞∂-+-=∂⎰⎰ （1-4） 另一方面，由复合函数的求导法，又有()[ln ()]()f x f x f x θθθθθ∂∂=∂∂ （1-5） 由于()f x θ是x 的条件概率密度，故()1f x dx θ∞-∞=⎰（1-6）将式（1-5）和式（1-6）带入式（1-4），得ˆ[ln ()]()()1f x f x dx θθθθθ∞-∞∂-=∂⎰或改写作ˆ[ln (1f x dx θθθθ∞-∞∂-=∂⎰（1-7） 由Cauchy-Schwartz 不等式知，对于任意两个复函数()f x 和()g x ，恒有不定式：222()()()()f x g x dx f x dx g x ∞∞∞-∞-∞-∞≤⎰⎰⎰成立，并且当且仅当()()f x cg x *=，等号成立，将Cauchy-Schwartz 不等式应用于式（1-7），则有22ˆ[ln ()]()()()1f x f x dx f x dx θθθθθθ∞∞-∞-∞∂-≥∂⎰⎰ 或等价为221ˆ()()[ln ()]()f x dx f x f x dxθθθθθθ∞∞-∞-∞-≥∂∂⎰⎰ （1-8）由Cauchy-Schwartz 不等式等号成立的条件知：当且仅当ˆln (()(f x K θθθθθ∂=-∂1-2）成立时，不等式（1-8）才取等号。

注意到ˆ{}E θθ=，故有22ˆˆˆvar(){()}()()E f x dx θθθθθθ∞-∞=-=-⎰ （1-9）另由公式{()}()()E g x g x f x dx θ∞-∞=⎰知22{ln ()}ln ()()E f x f x f x dx θθθθθ∞-∞∂∂⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎰ （1-10） 将式（1-9）和式（1-10）代入式（1-8），直接得到不等式（1-1）。

根据前面的分析，不等式等号成立的充分必要条件是式（1-2）成立3、解：对()x n 取延迟形式：12()()(1)(2)x n w n b w n b w n ττττ-=-+--+--于是有：1212[()()]{[()(1)(2)][()(1)(2)]}E x n x n E w n b w n b w n w n b w n b w n ττττ-=+-+--+--+--展开上式得到：122111222122[()()][()()()(1)()(2)(1)()(1)(1)(1)(2)(2)()(2)(1)(2)(2)]E x n x n E w n w n b w n w n b w n w n b w n w n b w n w n b b w n w n b w n w n b b w n w n b w n w n ττττττττττ-=-+--+--+--+---+---+--+---+---即：221211221122()(1)()()(1)(2)()(1)(2)x w w w w w R b b R b b b R b R b b b R b R ττττττ=+++++++++-+-对上式进行傅里叶变换，则有：22221211221122()(1)()()()()()()()jw j w jw j w x w w w w w P w b b P w b b b P w e b P w e b b b P w e b P w e ττττ--=++++++++从而得到：2222222221211221122222222212112222222121122()(1)()()(1)()()()(1)2()cos 2cos2jw j w jw j w x jw jw j w j w P w b b b b b e b e b b b e b e b b b b b e e b e e b b b b b w b w ττττττττσσσσσσσσσσσ----=++++++++=+++++++=+++++即22222121122()(1)2()cos 2cos2x P b b b b b b ωσσωσω=+++++4、music 算法原理：music(Multiple Signal Classification)算法是针对多元天线阵测向问题提出的。

假定M 元的均匀线阵，阵元间距为d ，信号的工作波长为λ。

空间信号源共有D 个，各信号不相关，各阵元的噪声(),m 1,2,,M m n t =互不相关，噪声和信号(),1,2,,k S t k D =也不相关。

因此，第m 个阵元的输出为(1)1()()()k Dj m m k m k x t S t e n t τ--==+∑ （4-1）式中2sin k k dπτθλ=，k θ为第ｋ个信号源的方向。

将式（4-1）写成矩阵形式：()()()X t AS t N t =+ （4-2）式中：12[(),(),,()]D A a a a θθθ=、(1)()[1,,,]k k jT j M T T k a e e θ---=。

求各阵元输出的相关矩阵，有：{}2()()H H R E X t X t APA I σ==+ （4-3）{}()()H P E S t S t = （4-4）式中：2σ———噪声的方差。

对式（4-3）的相关矩阵R 作特征分解，其各特征值及其相对应的特征向量分别为：λ1≥λ2≥…≥λＤ≥λＤ+1≥…≥λＭ （4-5）ｖ1ｖ2…ｖＤｖＤ+1…ｖＭ （4-6）据式式（4-3），可得以下结论：（1）R 的最小特征值等于2σ，重数为(MD)，即λＤ+1=…=λＭ=2σ。

据此，空间信号源的个数D 可由下式得出：D=M-（R 最小特征值的重数）。

最小重数为1，因此，M 阵元可测向的信号源数目的最大值为max 1D M =-。

（2）各特征向量相互正交。

这些向量为矩阵Ｒ列空间的基，由于最小特征值为噪声的贡献，因此与最小特征值对应的那些特征向量所张成的子空间也是噪声的贡献，称之噪声子空间，记为N Ω。

这样Ｒ的列空间被划分成两个子空间,即信号子空间S Ω和噪声子空间N Ω：{}1,,N D M span v v +Ω= （4-7） {}1,,S D span v v Ω= （4-8）由于各特征向量相互正交，故有：S N Ω⊥Ω。

在信号源所在方向上，诸方向向量(),1,,k a k D θ=，均处于信号子空间S Ω中，故()k N a θ⊥Ω。

构造矩阵：1[,,]N D M E v v += （4-9）显然有()0,1,,N k E a k D θ===music 算法就是根据式（4-9）来求空间谱()MU P θ，有221()()MU HNP E a θθ=（4-10）谱峰所对应θ值就是信号源方向的估值。

维纳滤波算法原理：维纳(Wiener)是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。

这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。

一个线性系统，如果它的单位样本响应为()h n ，当输入一个随机信号()x n ，且：()()()x n s n v n =+ （4-1）其中：()x n 表示信号，()v n 表示噪声，则输出()y n 为：y()()()mn h n x n m =-∑ （4-2）我们希望()x n 通过线性系统()h n 后得到的()y n 尽量接近于()s n ，因此称()y n 为()s n 的估计值，用()s n 表示，即：y()()n s n = （4-3）则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。

图4-1 维纳滤波器的输入—输出关系实际上，式（4-2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值(),(1),,()x n x n x n m --，来估计信号的当前值()s n 。