《数学分析》(三)――参考答案及评分标准.计算题(共8题，每题9分，共72分)。

因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在，x 0y x y 0 y x故二次极限均不存在。

4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中目标函数：S 表2 rh 2 r 2,1. 解:1 1求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y xf (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分)2. 解:设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x,y,z)具有连续的导数和偏导数,求空.dx对两方程分别关于x 求偏导：y0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别dz 丁 f (x dx F F 矽 x ydx y) xf (x y)(dX 1),解此方程组并整理得竺 dxF z dz 0dxF y f(x y) xf (x y)(F y F x )(4分)3. 取，为新自变量及2z x yx y 2 解: 2z2xx yJ2z 看成是 wzyF y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下：/、 x yw w(,),,2代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2w W c 2 2w 。

x y。

2整理得:(9分)(4分)(9分)------------------- 时磊忖呎… ... . .... ... ...约束条件：r 2h 1 o构造 Lagrange 函数：F （r,h, ） 2 rh 2 r 2 （3分） （r 2h 1）o人 F r 2 h 4 r 2 rh 0, 令 F h 2 r r 2 0.（6分）解得h径为r 2r ，故有r 彳*，h 3上.由题意知问题的最小值必存在，当底面半 3 ；,高为h 3 4时，制作圆桶用料最省。

……（9分）y 325.设 F （ y ） e xy dx ,计算 F （y ）.y 2解：由含参积分的求导公式y 3 F （y ） 2 y e x 2y dx yy3 2 x 2y 1 _ 2 x 2y 2x e dx 3y e y 3 x y 2 ye 心2 x y••…（5 分）y 3 y 22 x e 2xy dx n7 5 3y 2e y 2ye y7 2 -y e 『 5 —ye y 5 1 y 3 X 2y 2e dx o……（9 分）2 22y y22 26.求曲线 x a 2 y b 2笃所围的面积，其中常数 ca,b,c 0. 解：利用坐标变换 由于xy 0 ,则图象在第一三象限，从而可a cos , bsin .以利用对称性，只需求第一象限内的面积ab2 sin cos o（3分）2d1ab .2^sin coscab d（6分）a 2b 2c 2a 2b 2 2c 22 ・2 sin cos 0 （9分）7.计算曲线积分3zdx 5xdy 2ydz,其中L 是圆柱面x 2 y 2 1与平面Lz y 3的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向.解：取平面z y 3上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面 ，定 向为上侧，贝U 的法向量为0，cos ,cos,cos由Stokes 公式得cos磊 rtf-1 1 0,.2^2coscos3zdx 5xdy 2ydzLx 3zdSy 5xz 2ydSx 2 2y'、.2dxdy1（9分）8.计算积分 yzdzdx, S 为椭球笃a S解：椭球的参数方程为x asincos0 2 ,0，且2 （z, x ） . 2 acsi n(,) 积分方向向下，取负号，因此, yzdzdx°2 d 0^bac 2s in 32z cbsin 1的上半部分的下侧.sin ,z ccos ，其中sin 。

（3分） cos .2sin（6分）bac 2 0 sin 2 d [sincos （9分）.证明题(共3题，共28 分) 9.( 9分)讨论函数 f（x ） o 3xy 2 x x 2 0, 0在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性. 解：连续性：当x 2f（x ） 从而函数在原点0,00时, 2 xy -2—4 y x y处连续。

2 4 x y 2 4xyy 20，当 x,y 0,0 ，（3分）可偏导性：f x 0,0 f 0limx 0x,0f 0,0f y 0,0x..f 0,0 y f 0,0 lim y 0 y------------------- 布磊Sn/ — .......... ... ......... ....... .........即函数在原点0,0处可偏导。

10. (9分)(9分)设F x,y 满足：(1) 在 D x, y x x 0 a, y y 0 b 上连续， (2) F0，(3) 当x 固定时，函数F x,y 是y 的严格单减函数。

试证：存在 0，使得在 x x x 0上通过F x, y 0定义了一个函数y y(x)，且y y(x)在上连续。

证明：(i )先证隐函数的存在性。

由条件(3)知，F x 0,y 在y 。

b,y 。

b 上是y 的严格单减函数，而由条件(2) 知F xcY c0，从而由函数 F x c ,y 的连续性得F x c ,y o b 0，F x^Y c b 0。

现考虑一元连续函数 F x,y cb 。

由于F X Q ,y a b 0，则必存在10使得F x,y c b 0，x 0 (x c , 1)。

同理，则必存在20使得F x,y c b 0，x 0 (x c , 2)。

取 min( !, 2)，贝U 在邻域O(x °,)内同时成立F x, y 0 b 0， F x, y 0 b 0。

... (3 分)于是，对邻域O(x °,)内的任意一点；，都成立F x,y g b 0， F x, y g b 0。

知，存在F x,y 的零点yy ° b,y ° b 使得F x, y = 0。

而F x, y 关于y 严格单减，从而使F x,y = 0的y 是唯一的。

再由x 的任意性, 证明了对:O(x 0,)内任意一点，总能从F x, y 0找到唯一确定的y 与x 相 对应，即存在函数关系f ： x y 或y f(x)。

此证明了隐函数的存在性。

.. (6 分)(ii )下证隐函数y f(x)的连续性。

设x *是:O(x o ,)内的任意一点，记y * : f x * 。

对任意给定的0，作两平行线y y *(5分)可微性：lim从而函数在原点 f f x xf y y厂22.x y(9分)固定此x ，考虑一元连续函数F x, y 由上式和函数F 】,y 关于y 的连续性可y y * 0,0处不可微 不存在,由上述证明知0，x F x*, y* 0，F x*, y* 0。

由F x,y的连续性，必存在x*的邻域0(x*,)使得0，F x, y* 0，x O(x*,)。

F x,y*对任意的xF x, y* 于是在y*F x, y 即对任意的O(x*,)，固定此x并考虑y的函数F x,y，它关于y严格单减且0，F x, y^ 0。

内存在唯一的一个零点,y*0，x O（x*, )，它对应的函数值y满足y %y f(x)是连续的。

这证明了函数……(9分)11. (10分)判断积分证明：此积分在0作变量替换x 1，t1 1 1 sin - dx0 x x 不论正整数n多么大,i t运sint2因此, A丄sintdtA t21 1 1sin dx 在0 0x x2上非一致收敛。

证明如下:2上是否一致收敛，并给出证明。

1-3—sintdt。

t（3分）A,A@2n -,2n时，恒有（5分）2、2A吕dtA t2（7分）14 t2224 2n —42上非一致收敛。

2时。

因此原积分在0注：不能用Dirichlet 判别法证明原积分是一致收敛的1……(10分) 原因如下：尽管对任意的B 1积分：sintdt —致有界，且函数关于X单调，但是当1时，厂关于1 12 —，则lim^—n t t0,2 并非一致趋于零。

事实上，取t n,相应地取lim Ann n1———1 0,并非趋于零。

lim』n《数学分析［3］》模拟试题、解答下列各题（每小题 5分，共40 分）1、设z ln （ xz z ..y),求x x yzsinZx3s 2 2t,y 4s 2t 3,z 2 s 2 u3、设xsin (-),y求x y 在点4、求由方程 处的全微分dz ； ln （xyz x 2 z 2 （2,丄）处的值；ri ---■2所确定的函数zz(x,y)在点(1,0, 1)5、求函数u2z ）在点M（1,2, 2）处的梯度gradu(1,2, 2)；6、求曲面z 2xy7、计算积分: 3在点（1， 2x -dx2 , 0）处的切平面和法线方程;8、计算积分: 二、（10分）求内接于椭球 行于坐标面。

（10分）若 四、 五、 六、 七、i dx2x ~2 af(x)dxdy D2y_ b 7 "dy；2zc1的最大长方体的体积，长方体的各个面平和两坐标轴围成 角形区域，(x)dx，求(x).arctg —dx（10分）计算y 0y x所围成的在第一象限内的闭区域2,其中D 是由圆周x4,x 2 y 2 1I o e x [(1 cos y)dx (y sin(10分)计算 Ly sin x的全部边界曲线, 取逆时针方向。

y)dy]其中102y(10 I分）计算2z(x y z)dS2a ,z 0(a0)。

分）讨论含参变量反常积分）内的一致收敛性。

------------------- 时磊论呎― ... . .... ... ...参考答案、解答下列各题(每小题 5分，共40分)z z__ x y1、设z ln(、x ... y),求 x y ；y y y 1 yzcos2 6s zcos 4 sin 4s x x x x x丝 cos ，4ssi n ，uu x u xy xu z xxxtxty t ztzcos —y22zcos ， 1 ( 6t 2) sin ysin (6t)xxx xx2yz y 6t 2 zyy2cos —cos6tsinx x xxxx x u 1 u e sin( ), (2,—)3、设y求x y 在点处的值;u xx x2 e cos(—) 解: y y yxu e xx x(x 1)cos(—)—si n(—) x yyyy y2ux y 4、求由方程xyz x y z 2所确定的函数z z(x , y)在点(1,0, 1)处的全微分dz ；解：在原方程的两边求微分，可得z _____ 1 __ 1 1解.x x ■. y 2 xz ____ 1_ 1 _1yx . y 2 、y .1 、y 12x .. y 2u zsinZ2、x232x 3s 2t,y 4s 2t ,z 2s3t 2,u解：su x u y u z xsy szs(2,-)z z 1 x2xdx ydy zdzyzdx xzdy xydz --------------------------- 0 将 x 1, y 0,z 2 2 2x y z1代入上式，化简后得到 dz 5、求函数udx ■, 2dyln( x 2 2z )在点 M(1,2, 2)处的梯度 gradu(1,2, gradu 解： 2x ~2 2 x y gradu(1,2, 2)2y2 2 2 , x y z2 1,2, 2 9 。