第二课时 命题及其关系、充分条件与必要条件
课前预习案
考纲要求
1.理解命题的概念；
2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
基础知识梳理
1.命题的概念
在数学中用语言、符合或式子表达的，可以 的语句叫做命题．其中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题．
2.四种命题及其关系
（1）四种命题
（2）四种命题间的逆否关系
（3）四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 ．
3．充分条件与必要条件
（1）如果p q ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；
（2）如果p q ⇒，q p ⇒，则p 是q 的 ．
预习自测
1.设a ，b 是向量，命题“若a=-b ，则||||a b =”的逆命题是（ ）
A ．若a b ≠-，则||||a b ≠
B ．若a b =-，则||||a b ≠ 命题
表示形式 原命题
若p ，则q 逆命题
否命题 逆否命题
C ．若||||a b ≠，则a b ≠-
D ．若||||a b =，则a b =- 2．设集合{}|03M x x =<≤，{}|02N x x =<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
课堂探究案
考点一 命题的关系及命题真假的判断
【典例1】命题“若4πα=
，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若4πα≠，则tan 1α≠
B ．若4πα=，则tan 1α≠
C ．若tan 1α≠，则4π
α≠ D ．若tan 1α≠，则4π
α=
【变式1】（1）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． ①面积相等的两个三角形是全等三角形．
②若1q <，则方程220x x q ++=有实根．
③若22
0x y +=，则实数x 、y 全为零．
（2）下列命题中，假命题为（ ）
A ．存在四边相等的四边形不．
是正方形 B ．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数
C ．若,x y ∈R ，且2,x y +>则,x y 至少有一个大于1
D ．对于任意01,n n n n n N C C C +∈+++都是偶数
考点2 充分条件与必要条件的判断
【典例2】给出下列命题：
①“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}1n n a a +为等比数列”的充分不必要条件；
②“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的充要条件；
③“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的充要条件；
④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==30A =︒是60B =︒的必要不充分条件．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）
【变式2】（1）若a R ∈，则2a =是(1)(2)0a a --=的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
（2）设集合{}1,2M =，{}2N a =，则“1a =”是 “N M ⊆”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
考点3 充分条件与必要条件的应用
【典例3】已知p ：1|1|23
x --≤，q ：22210x x m -+-≤(0)m >，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．
【变式3】已知命题p ：方程2
10x mx ++=有两个不相等的负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．求“p q ∨为真，p q ∧为假命题”的充要条件．
1.下列命题是真命题的为（ ）
A ．若11x y
=,则x y = B ．若21x =,则1x =
C ．若x y =,=．若x y <,则 22x y <
2．命题“若B b A a ∈∉则,”的否命题是（ ）
A ．若
B b A a ∉∉则, B ．若B b A a ∉∈则,
C ．若A a B b ∉∈则,
D ．若A a B b ∈∉则,
3． 设””是“则“x x x R x ==∈3
1,的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
课后拓展案
组全员必做题
1．设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数3
()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．下列命题中正确的是（ ）
①“若22
0x y +≠，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题；④“若123x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题．
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①④ 4．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
5．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．
是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的数是偶数
D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
组提高选做题
1．下列命题是假命题的是（ ）
A ．命题“若2230x x --=,则3x =”的逆否命题为: “若3x ≠,则2230x x --≠”;
B ．若02x π
<<，
且sin 1x x <,则2sin 1x x <; C ．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线;
D ．“2x >”是“3101
x -≤+”的充分不必要条件; 2．设*n N ∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．
3．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实数根的充要条件是 ．
参考答案
1.D
2.B
【典例1】C
【变式1】（1）①逆命题：两个三角形全等，则它们的面积相等．（真命题）
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形．（真命题）
逆否命题：两个三角形不全等，则面积不相等．（假命题）
②逆命题：若方程220x x q ++=有实根，则1q <．（假命题）
否命题：若1q ≥，则方程220x x q ++=无实根．（假命题）
逆否命题：若220x x q ++=无实根，则1q ≥．（真命题）
③逆命题：若x 、y 全为零，则220x y +=．（真命题）
否命题：若220x y +≠，则x 、y 不全为零．（真命题）
逆否命题：若x 、y 不全为零，则220x y +≠．（真命题）
（2）B
【典例2】 ①④
【变式2】（1）A （2）A
【典例3】解：由1|1|23
x --
≤，得210x -≤≤， 即:210p x -≤≤．
由22210(0)x x m m -+-≤>，得11m x m -≤≤+，
即:11q m x m -≤≤+．
∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件． ∴12,110.m m -≤-⎧⎨+≥⎩
解得9m ≥． 经检验知m 的取值范围为9m ≥．
【变式3】解：∵2
10x mx ++=有两个不相等的负根，
∴2121240,0,10.
m x x m x x ⎧∆=->⎪+=-<⎨⎪⋅=>⎩解得2m >．
∴:2p m >．
又216(2)160m ∆=--<，解得13m <<．
∴:13q m <<．
∵p q ∨为真，p q ∧为假，
∴p 、q 一真一假．
①p 真q 假时，3m ≥；
②p 假q 真时，12m <≤．
综上知，“p q ∨为真，p q ∧为假”的充要条件为3m ≥或12m <≤．
1.答案：A 解析：由11x y
=得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =
,而x y <得不到2
2x y < 故选A.
2．答案：B 解析：命题“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.
3．答案： A 解析：因为1,1,0,3-==x x x 解得，所以，“x=1”是x x =3的充分不必要条件。

组全员必做题 1.A
2.B
3.B
4.A
5.D
组提高选做题
1.C
2.4或3
3.1a ≤。