高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )A.34 B.74C.377D.43答案 A解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，∴sin θ＝CD AD ＝34.4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案 C解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C解析 由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.22a D.3a答案 C解析 取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝22a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7答案 B解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC. ∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O为△ABC的外心．∴OA＝AB2sin∠BCA＝152sin120°＝5 3.∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )A.32B．2C.322D. 2答案 B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直答案 A解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C. 2D. 3答案 C解析 如图，△ABE 为题中三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )答案 D解析 如图，PO 2＝PA 2＋OA 2＝PB 2＋OB 2， ∴16＋x 2＝25＋y 2.∴x 2－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，PN 和平面ABC 所成的角是________．答案 30°解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝33，∴∠PNM ＝30°.14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为________．答案3πr解析 由题意得交线为半径为32r 的圆周，其长为3πr . 15．在正四面体A —BCD 中，O 为底面△BCD 的中心，M 是线段AO 上一点，且使得∠BMC ＝90°，则AM MO＝________.答案 1解析 如右图所示，设正四面体A —BCD 的棱长为2，由∠BMC ＝90°，得BM ＝ 2.又可得BO ＝233，在Rt △BOM 中，MO ＝63，由勾股定理得AO ＝263，所以得AMMO ＝1.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BC ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥⊥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD证明 取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE 綊12DC又∵AM 綊12DC ，∴NE 綊AM∴四边形AENM 为▱.∴MN ∥AE 又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴ MN ∥平面PAD .18．(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．解析 (1)如右图，在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α. 又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，所以∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°.从而BO ⊥PQ . 又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC . (2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β. 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°. 不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH ＝AO sin30°＝32.在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，所以BO＝AO＝ 3.于是在Rt△BOH中，tan∠BHO＝BOOH＝332＝2.故二面角B—AC—P的大小为arctan2.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.(1)求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3)求点C1到平面A1CB的距离．解析证明：(1)四边形BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1.又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1.解：(2)过A1作A1D⊥B1B于D，D即为B1B的中点，连接DC.∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角．在矩形BCC1B1中，DC＝13.∵四边形A1ABB1是菱形，∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴A1D＝23，∴tan∠A1CD＝A1DCD＝2313＝23913.(3)∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．连接AB1，AB1与A1B交于点O.∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B.∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC.∴B1O即为C1到平面A1BC的距离，又B1O＝23，∴C1到平面A1BC的距离为2 3.20．(本小题满分12分)(09·广东)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解析 (1)点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED .则VE －DE 1FG 1＝VF －EE 1G 1＋VD －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.(2)∵点E 在平面DCC 1D 1的正投影为点E 1， 则EE 1⊥面DCC 1D 1.∵FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.在△E 1FG 1中，FG 1＝FD 12＋G 1D 12＝2，E 1F ＝FC 12＋E 1C 12＝2，E 1G 1＝2， ∴FE 12＋FG 12＝E 1G 12＝4，∴FG 1⊥FE 1， ∵FE 1∩EE 1于点E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)取正方形ADD 1A 1的中心为M ，连结EM 、AM ，则EM 綊E 1G 1，且EM ⊥面AA 1D 1D ，∴EM ⊥AM . ∵AM ＝AG 2＋MG 2＝2，AE ＝AB 2＋BC22＋AG 2＝6，EM ＝2， ∴sin ∠AEM ＝AM AE＝26＝33. ∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角N —B 1M —B 的余弦值． (3)在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 解析 (1)证明：∵在底面ABCD 内，BM MA ＝BNNC，∴BM ＝BN ，MN ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD . 又BB 1⊥MN ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D . 而BP ⊂平面BB 1D 1D ，∴MN ⊥BP .(2)解：在AA 1上取点Q ，使A 1Q ∶QA ＝1∶2， 连接PQ 、BQ 、BD ，则PQ ⊥平面A 1ABB 1. ∵PB ⊥平面B 1MN ，∴PB ⊥MN ，PB ⊥B 1M ， ∴根据三垂线定理逆定理，DB ⊥MN ，QB ⊥B 1M . 设BQ ∩B 1M ＝H ，连接NH . ∵NB ⊥平面B 1MB ，∴NH ⊥B 1M ，∴∠NHB 为二面角N —B 1M —B 的平面角． 令AB ＝3，则AQ ＝2，BQ ＝13， ∴cos ∠HBM ＝BH BM ＝BA BQ ＝313，∴在Rt △NBH 中， tan ∠NHB ＝BN BH ＝BM BH ＝133， ∴cos ∠NHB ＝32222.(3)解：存在点P ，且P 在DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明如下： ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD . 又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面ACC 1， 取AC 1中点O ，连接PO ，易证PO ∥BD ， 从而PO ⊥平面ACC 1，∵PO ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．(本小题满分12分)如右图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AD ＝a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ；(3)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的取值范围． 解析 (1)PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD . 故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角． 在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA ＝AD ， ∴∠PDA ＝45°.(2)如右图所示，取PD 中点E ，连结AE 、EN .由M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴EN 綊12CD 綊12AB .∴AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 、AD 所成的角．由三垂线定理知PB ⊥BC . 设AB ＝x (x >0)，∴tan ∠PCB ＝a 2＋x 2a＝1＋x a2>1.又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈(π4，π2)，即异面直线PC 、AD 所成角的范围是(π4，π2)．。