专题训练(四)数式规律探究问题的四种类型►类型一探索数字的变化规律探索数字的排列规律，关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用含所设字母的式子表示出来，从而解决相关问题．1．在一列数：a1，a2，a3，…a n中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数之积的个位数字，则这个数中的第2020个数是()A．1 B．3 C．7 D．92．将正整数1～2020按一定规律排列如下表：上下平移表中带阴影的方框，则方框中五个数的和可以是()A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．如图4－ZT－1，在2020年10月份的月历表上，任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是()图4－ZT－1A．a＋d＝b＋cB．a－c＝b－dC．a－b＝c－dD．d－a＝c－b4．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为( )A.4B ．3C ．0D ．－2► 类型二 探索单项式的变化规律单项式的变化规律由系数、字母以及字母的指数确定，探索一组单项式的变化规律，其中字母通常是固定不变的，因此需要探索的是系数和字母的指数的变化规律，这可以转化为探索有理数的变化规律．系数的符号正、负或负、正交替出现时，其规律用式子(－1)n ＋1或(－1)n 表示．5．观察下面的一列单项式：－x ，2x 2，－4x 3，8x 4，－16x 5，…，根据其中的规律，得出第10个单项式是( )A ．－29x 10B ．29x 10C ．－29x 9D ．29x 96．观察下列各式：0，x ，x 2，2x 3，3x 4，5x 5，8x 6，…，按此规律写出的第10个式子是________．7．一组按照规律排列的式子：x ，x 34，x 59，x 716，x 925，…，其中第8个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．8．观察下列一串单项式的特点：xy ，－2x 2y ，4x 3y ，－8x 4y ，16x 5y ，…. (1)按此规律写出第9个单项式；(2)第n (n 为正整数)个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？►类型三探索图形的变化规律探索图形的变化规律有两种方法：一是从形着手，即比较前后图形的异同，找出由前一个图形到后一个图形的变化方式，从而确定图形的变化规律；二是从数着手，即分别计算出前面几个特殊图形的相关数据，然后探索这些数据的变化规律．9．用棋子摆出如图4－ZT－2所示的一组图形：图4－ZT－2()A．3n B．6nC．3n＋6 D．3n＋310．2019·大庆归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图4－ZT－3所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n(n为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为________．图4－ZT－311．观察如图4－ZT－4所示的“蜂窝图”：图4－ZT－4则第n(n是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n的式子表示)12．如图4－ZT－5是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n(n是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n的式子表示)图4－ZT－513．观察下列砌钢管的横截面(如图4－ZT－6)，则第n(n是正整数)个图中的钢管数是__________．(用含n的式子表示)图4－ZT －614．将一些半径相同的小圆按图4－ZT －7所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆……依此规律，第n (n 是正整数)个图形中有__________个小圆．(用含n 的式子表示)图4－ZT －7► 类型四 探索等式的变化规律探索等式的变化规律时，要注意观察等式两边数据的个数，分析各数据间的数量关系，然后用字母表示这组等式．注意：当字母在指定的范围内取最小值时，所得等式要恰好是第1个等式．15．已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，….根据以上等式，猜想：对于正整数n (n ≥4)，1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝________．16．已知2＋23＝22×23；3＋38＝32×38； 4＋415＝42×415；… 若10＋a b ＝102×ab (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________．17．观察下列等式： 第一行：3＝4－1； 第二行：5＝9－4； 第三行：7＝16－9； 第四行：9＝25－16； … …按照上述规律，第n (n 为正整数)行的等式为________________．18．观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，….(1)说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系；(2)利用上述规律写出第n(n为正整数)个等式．教师详解详析1．C [解析] 依题意得：a 1＝7，a 2＝1，a 3＝7，a 4＝7，a 5＝9，a 6＝3，a 7＝7，a 8＝1，…， 周期为6，2020÷6＝336……4， 所以a 2020＝a 4＝7. 故选C.2．C [解析] 从表中正整数1～2020的排列情况来看，每一行是8个数，也就是每一列下面的数减去上面的数是8.随着方框的上下平移，可表示出其变化规律的表达式为：2＋8n ，3＋8n ，4＋8n ，5＋8n ，6＋8n ，将这五个数相加为40n ＋20，用四个答案中的数来尝试，可见只有40n ＋20＝2020时，n 为整数．故选C. 3．D4．A [解析] 因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，所以4＋a ＋b ＝a ＋b ＋c ，解得c ＝4，a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋(－2)，解得a ＝－2.所以数据从左到右依次为4，－2，b ，4，－2，b ，第9个数与第三个数相同，即b ＝3.所以每3个数“4，－2，3”为一个循环组依次循环．因为2020÷3＝673……1，所以第2020个格子中的数与第1个格子中的数相同，为4.故选A.5．B6．34x 9 [解析] 从第二项起，字母的指数是连续的正整数；从第三项起，每一项的系数是它前面两项系数的和．所以第8，9，10项分别是13x 7，21x 8，34x 9.7.x 1564 x 2n －1n 2[解析] 根据分子的底数都是x ，而指数是从1开始的奇数；分母是从1开始的自然数的平方．因此第8个式子是x 2×8－182＝x 1564，第n 个式子是x 2n －1n 2.故答案为x 1564，x 2n －1n 2.8．解：(1)因为当n ＝1时，单项式为xy ， 当n ＝2时，单项式为－2x 2y ， 当n ＝3时，单项式为4x 3y ， 当n ＝4时，单项式为－8x 4y ， 当n ＝5时，单项式为16x 5y ，所以第9个单项式是29－1x 9y ，即256x 9y. (2)第n(n 为正整数)个单项式为 (－1)n ＋12n －1x n y ，它的系数是(－1)n ＋12n －1，次数是n ＋1.9．D [解析] 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6； 第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9； 第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；… 所以第○n 个图形中棋子的个数为3n ＋3.故选D.10．3n ＋2 [解析] 由图可得，图①中棋子的个数为3＋2＝5，图②中棋子的个数为5＋3＝8，图③中棋子的个数为7＋4＝11……则第n(n 为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为(2n ＋1)＋(n ＋1)＝3n ＋2.11．3n ＋1 [解析] 根据题意可知，第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“，所以第n 个图案中“”的个数为4＋3(n －1)＝3n ＋1.故答案为3n ＋1.12．(4n ＋1) [解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4，所以第n(n 为正整数)个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.13.32n(n ＋1) [解析] 第1个图中钢管数为1＋2＝3， 第2个图中钢管数为2＋3＋4＝12×(2＋4)×3＝9，第3个图中钢管数为3＋4＋5＋6＝12×(3＋6)×4＝18，第4个图中钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝12×(4＋8)×5＝30，…依此类推，第n 个图中钢管数为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋(n ＋4)＋2n ＝12(n ＋2n)(n ＋1)＝32n(n ＋1)．14．(n 2＋n ＋4) [解析] 由题意可知第1个图形中有小圆4＋1×2＝6(个)；第2个图形中有小圆4＋2×3＝10(个)；第3个图形中有小圆4＋3×4＝16(个)；第4个图形中有小圆4＋4×5＝24(个)；第5个图形中有小圆4＋5×6＝34(个)；第6个图形中有小圆4＋6×7＝46(个)……第n 个图形中有小圆4＋n(n ＋1)＝(n 2＋n ＋4)个．15．n 2 [解析] 观察发现，等式右边是等式序号数的平方．16．109 [解析] 仔细观察式子特点可知：3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故当a ＝10时，b ＝102－1＝99，则a ＋b ＝10＋99＝109.17．2n ＋1＝(n ＋1)2－n 218．解：(1)等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． (2)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n （n ＋1）2]2.。