平行线的证明【考点一:命题、定理及公理】●对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定,也就是给出它们的定义．●判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分组成.●正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.●公认的真命题称为公理．●推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理．【典型例题】1.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式＿＿_________＿___＿____＿＿___＿__＿＿__＿_＿___.2.命题“任意两个直角都相等”的条件是＿＿__＿____＿_＿＿＿___________,结论是_＿＿____＿_＿_______，它是＿＿___＿（真或假）命题.3.有下列两个命题:①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°,那么这个等腰三角形一定是等边三角形.其中正确的是( )Ａ．只有命题①正确B.只有命题②正确C.命题①，②都正确Ｄ．命题①，②都不正确4．下列命题为真命题的是（)A．同位角相等B.如果∠Ａ+∠B＋∠C=１80°，那么∠A,∠Ｂ,∠C互补Ｃ.邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角【变式练习】１.把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式_＿＿__＿___＿____＿＿__＿________＿＿_．２．下列命题是假命题的是（)A．对顶角相等Ｂ.圆有无数条对称轴C.两点之间，线段最短Ｄ．平行四边形是轴对称图形3．下列三个命题：①同位角相等,两直线平行;②两点之间，线段最短;③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（）A.0个B．1个C.２个Ｄ.３个4．下列语句中,属于命题的是( ）A．画∠AOB=90°Ｂ．2比－2大吗Ｃ．过点A作直线ｍD．负数的偶次幂是正数5.下列四个命题是真命题的是（)A．同位角相等B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角C.在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相垂直6.有下列四个命题,其中所有正确的命题是( ）①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行ﻫ②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补③在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线也互相垂直④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．Ａ．①②B．①④C．②③D．③④7.请写出命题：“全等三角形对应角相等”的逆命题，并判断命题的真假．8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是＿_____＿＿____＿_＿__＿___＿_______＿_＿．【考点二：平行线的性质及判定】判定：1.同位角相等，两直线平行. 性质：1．两直线平行,同位角相等．2.同旁内角互补，两直线平行． 2.两直线平行,同旁内角互补．3.内错角相等，两直线平行． 3.两直线平行，内错角相等.平行线的判定：【典型例题】1.如图所示：已知:AD∥EF，∠1=∠2.求证：ＡB∥ＤＧ.【变式练习】1.如图,已知直线EF⊥ＭN垂足为F，且∠１=１40°，则当∠2等于()时,AB∥ＣD．A．５0°B.40°C．30°D．60°2.如图,可以推理得AB∥CＤ的条件是（）A.∠2=∠ＡBCﻩB.∠1＝∠ＡﻩC．∠3=∠ＡＢCﻩD．∠３＝∠A3．下列说法正确的是（）Ａ.同一平面内没有公共点的两条直线平行B.两条不相交的直线一定是平行线C.同一平面内没有公共点的两条线段平行Ｄ.同一平面内没有公共点的两条射线平行4．下列说法正确的是（）①相等的角是对顶角;②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角; ﻫ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等;⑤凡直角皆相等；ﻫ⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．A．1个ﻩB.2个C．3个D.4个5.在同一个平面内,不相邻的两个直角,如果它们有一条边共线,那么另一边互相（)A．平行ﻩＢ.垂直ﻩC.共线Ｄ.平行或共线6．小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAＥ=35°,∠ＡEＤ=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝３５°，∠AED=９0°后,又量了∠ED Ｃ＝５5°，于是他就说AB与CD肯定是平行的,你知道什么原因吗?EAC B G MD NF127.已知：如图∠1=∠2,当ＤE 与FH 有什么位置关系时，CD ∥FG ? 并说明理由．平行线的性质 【典型例题】1．如图所示：如果AB ∥CD ,则角α、β、γ之间的关系式为（ ） A 、α＋β＋γ=360° B 、α-β＋γ=1８０°ﻩＣ、α+β＋γ=18０°ﻩ D 、α+β-γ＝1８0°2．如图所示:直线ＡＢ∥M Ｎ，分别交直线EF 于点C 、D ，∠BCD 、∠CDN 的角平分线交于点Ｇ，求∠ＣGD 的度数.【变式练习】１．如下图左,AB ∥ＥF ∥CD ,∠ABC =46°，∠ＣEF =１5４°,则∠ＢCE 等于( ）A ．23°Ｂ.1６° C ．20° D .26°2.如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°,则∠2的度数是( ） A ．30°Ｂ.4５° Ｃ.４0° D ．50°3.把一块直尺与一块三角板如下图右放置,若∠１=45°，则∠2的度数为（ ）A．115°Ｂ.120°ﻩC．14５°D．135°４.如图，ＡE∥BD，∠1=12０°，∠2=40°,则∠Ｃ的度数是(）A.1０°Ｂ.20°ﻩC．30°D．40°5．如图，已知直线m∥ｎ，直角三角板AＢC的顶点Ａ在直线m上，则∠α等于()A．21°Ｂ．48°C.58°ﻩD.30°6．如图,AB∥CD，∠B=２3°,∠D＝42°，则∠BEＤ为( ）A.2３°B．42°ﻩC.6５°ﻩD.19°7.将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（)度．Ａ．90 Ｂ．1２0ﻩＣ．１２5Ｄ．1５０８.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”,AB∥DE，∠Ａ=30°,∠ACＥ=1１0°,则∠E的度数为（）Ａ.30°ﻩＢ.150°C.1２0°ﻩＤ．100°9．如图所示,OP∥QR∥SＴ，若∠2=11０°，∠３=1２0°,则∠1的度数为（)A.6０°B．50°C．40°D．10°１0.下列说法正确的有(）（1）两直线被第三直线所截,若同位角相等,则同旁内角相等(2)两直线被第三直线所截,若内错角的角平分线平行,则这两直线平行ﻫ(3)两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等（4）在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直A.1个ﻩB．２个C.3个D.4个11.如图，已知AＢ∥EF，∠BＡC=p,∠ACD＝x，∠CDE=ｙ，∠DＥF=q，则用p、q、y来表示ｘ.得( ）A．x=ｐ＋y－q+18０°Ｂ.x＝p+ｑ－y+180°Ｃ．x=p+ｑ+y D.x=2p+２q－y+9０°12．如图，AB∥ＣD∥EF∥GＨ，AE∥DG,点C在AE上,点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为ｍ，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β,则m＋n的值是(）A.8 B．9 C．10 D.1113.如图，AＢ∥CD，BＥ⊥DＥ．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由.14．如图,点P是∠AOB内的任意一点,ﻫ(1)过点Ｐ分别作OＡ、ＯB的平行线,分别交OA、ＯＢ于点C、D；ﻫ（2)∠ＡOB和∠Ｐ是否相等? 说明理由．１5.如图,点D、E分别在△ABC的边ＡＢ、ＡＣ上,点Ｆ在ＤC上,且∠1+∠２=１80°,∠3=∠Ｂ．求证:DE∥BC.1６．如图,点C 在∠AOB 的边OA 上一点，请你使用直尺和圆规，过点Ｃ作直线O Ｂ的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．【考点三:三角形的内角和外角定理】● 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ● 如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线也互相平行． ● 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. ● 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于1８0° ● 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ● 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【典型例题】１、已知:如图所示：在△AB Ｃ中,CH 是外角∠ACD 的平分线，ＢH 是∠AB Ｃ的平分线. 求证：∠A = 2∠H证明： ∵∠ACD 是△AB Ｃ的一个外角，∴∠ＡCD ＝∠A ＢC +∠A (＿＿__＿_＿_____＿_____＿＿_____＿_) ∠2是△ＢCD 的一个外角，∴∠2=∠1+∠H （__＿__＿____＿____＿__） ∵CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ＡBC 的平分线， ∴∠1=21∠ＡBC ,∠2= 21∠A ＣD (__＿＿__＿＿__＿＿___＿_____） ∴∠A =∠AC Ｄ－∠ＡB Ｃ= 2 (∠2 -∠1） （____________＿____＿__＿__)而∠H=∠２－∠1 (等式的性质)∴∠A= ２∠H（______＿＿____＿_＿____＿＿__)【变式练习】１．如图，在△AＢC中,∠Ｂ=6７°,∠C＝33°，AD是△ABＣ的角平分线，则∠ＣＡD的度数为(）Ａ．40°B.45°C．５0°Ｄ.55°2．如图，将一块三角板叠放在直尺上,若∠1=20°,则∠2的度数为()A．40°B．6０°ﻩC．７０°D．80°3．如图,△ＡBＣ中,BＯ，CO分别是∠ＡBC，∠ACB的平分线,∠A=50°,则∠BOC等于（) Ａ.１１0°B．１15°C．１20°ﻩD．130°4.两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是（)A.内错角B.同旁内角Ｃ．同位角D．内错角和同位角５．如图,∠ABC=31°，又∠BAＣ的平分线与∠FCB的平分线CＥ相交于E点, 则∠ＡEC为（)A.１４.5°ﻩB．１５．５°C.１6.5°D．20°6．如图，两平面镜所成的∠1,一束光线由是P发出，经平面镜OB,OＡ两次反射后回到点P，已知ＰQ∥ＯA，PR∥OＢ,则∠１的度数为( ）A．3０°B.45°C．6０°ﻩD.75°7.若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为14５°,则这个三角形的形状为( )A.锐角三角形B．直角三角形C.钝角三角形Ｄ.等腰三角形8．若△ABC的内角满足：２∠A－∠B=60°，４∠Ａ+∠Ｃ=30０°，则△ＡBC是（）A.直角三角形B．等腰三角形C.等边三角形ﻩD．无法确定9.△ＡBC中,三个内角的度数均为整数，且∠A<∠Ｂ<∠C,4∠C=7∠Ａ，则∠Ａ的度数为（)Ａ.40°ﻩB．48°Ｃ.３6°D.4４°1０．如图,l∥ｍ,等腰直角三角形ＡＢC的直角顶点Ｃ在直线m上，若∠β=2０°, 则∠α的度数为（）A.25°ﻩB．30°C.20°D．３5°1１．将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠ＡOB的度数为( ）A．75°ﻩB．95°C．105°D．１20°1２.如图,∠CBD、∠ADE为△AＢＤ的两个外角,∠CBD＝70°,∠ADＥ=1４9°，则∠A的度数是( )A．2８°B.３1°C．3９°D.42°1３.如图，在Rt△ADB中，∠D=90°,C为AD上一点，则x可能是( ）A.10°B.20°ﻩC．3０°ﻩD．40°14．如图△ＡBC中,∠A=96°,延长BC到Ｄ，∠AＢＣ与∠ＡCD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A１CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠Ａ４BC与∠A4CＤ的平分线相交于点Ａ5,则∠A５的度数为（）A．1９．２°ﻩＢ.8°C．6°ﻩD．3°15.如图所示,l１∥l2,则下列式子中值为1８0°的是（)Ａ.α+β＋γB.α+β－γＣ.β+γ－αﻩD.α－β+γ16.下列说法:①三角形的高是线段;②直角三角形只有一条高线;③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（）A.1个ﻩＢ．2个C.3个Ｄ．4个17．△ＡBC中,∠B＜∠Ｃ，AD平分∠ＢAC（1)在图中画出△ＡBC的高AE,垂足为E;并完成下列问题：ﻫ1．若∠B=５0°,∠Ｃ＝70°,则∠DAE= .2 ﻫ．试探寻∠DAE与∠Ｂ、∠Ｃ的关系.请说明理由.(2)若一点F在AD上移动，且FＥ⊥ＢC于E,其他条件不变,那么∠EＦD与∠B、∠C间有怎样的关系?１8．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于1８０°,如图,在三角形ABC中，∠Ｃ=70°,∠Ｂ＝38°，ＡＥ是∠ＢＡC的平分线,AD⊥BC于Ｄ.(1)求∠DAE的度数;（2)判定AD是∠EAC的平分线吗?说明理由.(3）若∠Ｃ=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C>∠B）19.已知：△ＡBC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件,解答下列问题:(１)如图1,若∠BＡD=60°,∠EAD=1５°，求∠ＡＣB的度数.(2）通过以上的计算你发现∠EAＤ和∠AＣB－∠B之间的关系应为：．（３）在图2的△AＢC中,∠ACB＞90°,那么（２）中的结论仍然成立吗?为什么？20.如图,已知△ABC中，BD、ＣＥ分别是∠ＡBC、∠AＣB的平分线，ＢD、CE交于点O，∠A=70°. (１）若∠ACB=40°，求∠ＢOC的度数；（２）当∠ACB的大小改变时,∠BOC的大小是否发生变化?为什么? 请写出证明过程．21．已知如图1，线段AＢ、CＤ相交于点O，连接ＡD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2,在图1的条件下，∠DＡB和∠BＣD的平分线ＡP和ＣＰ相交于点P，并且与CＤ、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：ﻫ（1）在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系ﻫ（２）仔细观察，在图2中“8字形”的个数(３)在图2中，若∠Ｄ=４０°，∠B=3６°,试求∠P的度数;２2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1:如图1，在△ABC中，Ｏ是∠ABC与∠ACB的平分线BＯ和CＯ的交点，证明:∠BOC=９0°＋12∠Ａ．探究２：如图2中，O是∠ＡBC与外角∠ＡCＤ的平分线ＢＯ和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系?探究３：如图３中，O是外角∠ＤBC与外角∠EＣB的平分线BO和ＣO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?2３．(１）如图１，∠１与∠2 的大小有什么关系?(2)如图2，BE、CD相交于点A，∠DEA,∠BCA的平分线相交于Ｆ.探求∠F、∠B、∠D关系?。