1.1 标量场和矢量场1.2 三种常用的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(一e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)二CVw3) V((/ 土巧二可肿土V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级甘为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「小V x V/z = 0产生场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间隹置点称为场贞「记为(x,y\2｝或尸源点到场点的距S»j?=|r-r| 从源点指向场点的矢量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻・刃畑％&R衣示对仗」4运算R表示对运算.R^r-r1^J(x-A)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(tri旳和5 巧\2化砸事=蛰£虫=—%专(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(入sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋•熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第一章矢量分析l 〜Eit 十dit 〜duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场心的梯度.ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'矢童场的雄度"_R _尸一*的散度恒为零R ，|r-r'-1.4矢量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、高斯定理(散度定理)L v知一丄％物理詳5G穿过一封闭曲角的总谓呈等于矢虽散度的休秘分1.5矢量场的环流与旋度-------------------- V VV v c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个魚量场旋度的面税分導于演矢量沿此由面周界的曲线眦四、矢量场擬度的重要性质卩（Vxj^O任意矢量场I?度的散度等于議1.6亥姆霍兹定理与格林定理一、矢量场的分类矢量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（矢量）。

任一矢量场，可能是由两种源中的一种产生的，也可能是由两种源共同产生的。

根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类。

1）有源无旋场若矢虽场申佐某区域'他处姑汁皿個在某些楼置或整个空间内，有歸*如则称在该区±«v内，场戶旧为有源无旋壕•P为矢虽场通虽谓密度；VxF=0蛍要性氐萨（F）皿二[严戶（尸）曲"结臨无旋场场矢量沿任诃闭合路径的环流等于零（无激涡源几VxVw-0无旋场的旋度始终为6可引入标号辅助函数表征矢戢场即F 二-％例如：静电场Vx£= O^F—Vp2）无源有族场_若矢量场丙尸）在某区轍内，处处VJ = O,但在某些位冒或整亍空间内.有VxF=J^0 -则称在该区妳刚场戸㈤为有淀无源如说明器式中J为矢量场漩祸源密度。

!V-F-0童要性质：^F（r） rf5 = [.V F（r）rfr=0騒无散场通过任盍闭合曲面的通量等于零（无散度源八vVxJ = 0无散场的散度始络为0, 口I引入矢量函数的貰度表示无®»F=VxJ 钏虬1S越4场V-5 =0z>fi=Vxl3）无紅无哉场（源隹所i+论的区域Z外）Vx/ =0=>F - -VttV w = O4）有散「有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分戶（F）二京F）+ 和F}=-別（亍）+2（F）忸- 札；无散场部分• ■**!■■・ O.・N ■亠亠・■■■・,无冀场与无散场可以看磴展两科基本的矢量场，任一矢量场都可以分解为无庭场部分与无飲场部分上利也就是说，性一矢虽场都可以表示为一标屋场的梯度与另一矢虽场的龊度之刑.F（F）二刁（可十£疔）4一、浚姆崔玆定理在有限的区域扌内，任一矢量场由它的散度"就度和边界条件（即限定区域V的0]合面S上的矢量场的分布）唯地确定，且可妬为1）矢駅场户可以用一亍标虽函数的梯度和一个矢邑函数的旋度来表示。

此标量函数由f的散度和匸在边界$上的法向分呈完全确赶而矢量函数则山戶的真度和戶在边界面S上的切向分量完全确定；2）由于Vx[W（f）]- O t V [V x j（r）J = 0 f周而一^卜欠量场可以衷示为-个无旋场与无啟场之和，即F（r）= ^（r）+ ^（r）lV^(r) = OV^^(7) = VxF(r) = J3）如果在区域V内矢量场F的散度与旋度均处处为0, ±其在边界面S上的场分布完全确定；亥姆霍兹定理在电磁场理论中的査文：无旋场部分1说明:F(r)--Vu(r) + VxJ(r)已知在电短场中*「电酋密卧-电浚斋頂/ （矢里F喰一地価》L宙域讪界¥1111) V (中审)_ (X 7卩)v +卩1V 审2) V •(亦)=年护•彳十亦AV^>x J+^iVx J 4) V-(^x^)=(Vx.4).45) V x(Jx5) = (V 5)J + (5-V )J-(V6>V (J^)=2x(Vx5)+(3 V )5+Jx(Vxl}+(J-V )J 7Mx(VxJ)-iv^2 -(i V )J 8) Vx(Vxj)-V(V-j)-V\J 9) V^i = 0T V-(V x J) = 0第二章静电场分析2.1电场的基本性质体电荷M 电荷在某空间休积内连续分布• 休电荷密度定文，单位休积内將电荷量“Q(F)=帆学:=穿 宀詔 a g = [ p(f >/F “7 &F dv … R .2、面电荷密度 qs (r^)ds 3、线电荷密度ql (V)dlSl4.点电荷二、库仑定律描述了真空中两个点电蓟间和互作用力的规律，其数学表三、电场强度 定艾:单位正电荷衣电场中某点受到的作用力称为该点 的电场强度。

£=応丘冲士O' M（刃拧个点电荷产生的电场强度（矢量叠加原理） 風尸） —= E —v （l ）m 七尺」令叫 '时R^r-r/点电荷：爭电荷体体积非常小.可忽略其休稅时，称为 电荷°点电荷町看柞是电量屯无限集中于一个几何点上。

0 r#0 I 00 r r_ 05*点电蓟的占慵数表示法：1）占茵數的定丈和性頂： 设坐标原点为场点坐标 为；，源点坐标为几 （,*内 （D 卩诞珊） M T £V内）（3）连续分怖的电苞源产生的电场元电荷产生的社场dE^-^-e,斗陀j??*dq = <TdS匚库电荷分布dq - p. dV关于“三度"的 一些常用公式；Q --------------- O --------------- QI*复合函数的I［二度公式］■■- _ -I 积分变换公式0(巧=冬％二一Vwv 7dtt ,Vx J 4(w) = Vwx —rfw当F = D （将源点透在坐标原点）时.则有 （S （r -r f） = t5（r ）性鬲① 占函数是一个偶附数。

② a 函数的抽祥性’超©为一T 连续函数，则冇 0 阻咖/（P ） （F 在v 内）高斯公式 f A t£=[ (V-4)rfr = frf^VUJS Jr J F 例1士证明L 沪' （卫是S 甬数"0 戸在F 外记住 1血卩內结论R F —|蚩要公式|***»***[ S-w（ N . < J（D 单个点电荷产生的电场强度迭式为F 一晒尸 仏& %一仙盘「一伽酩盹式申：甩表示？作用在嚳上的静亀力g心为真空中介电牯孤f =二一--10 处F久线电荷分布dq = p^r 2.2真空中静电场的基本方程帀貝£ g 心佥借斯定理）静电场是一个 Vx£ - 0 ££•廖=（）（环路定理】有源无旋场斯托克斯处式2Crt1j12ZZ«如巧V5b.面业荷分布f 佔肩电场空间中两点间电位差为：松二匸弓眄或陆二]『磴二、电位参考点电位参考点选择原则：1）电位参考点电位一般为0；⑴申.荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点炉h= 0 （J B-¥X）<p A = J E *dl在无源区域*% = 0 寸电位的拉普拉斯方程例I：半径为匕的带电导体球.已知球体th位为u, 求空间电位分布及电场强度分布匸解法-导体球是等位体铝r<a时；（2）电荷分布在无隈区域彳;能选无穷远点作参考点*否呦积分将无穷大*应根据空际情况选取参考点・2）场中任意两点2间的电位建与掺罟点无关口3）选择参考点恳可能使电位表达式比较简肌.4>电位参考点可任負选择，但同一问题'一般共能选取一个参考点.三、电位的计算公式1、点电荷的电位2、无限长线电荷的电位列门=d = —f怙。

4^o r X*久分布电荷休系在空间中产生的电位1 d f 2d<p^ ./ ' ar av=>\<p = U『r=a二0aUzz> =P寸r6 爲8 爲8E~-^(p = -(e T— + —— ----------------------- 1X)cr r cu rsinp cp rf 21解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称.设导体球带电菽量为g则刖由高斯定理求得.在球外空间，电场强度为：2.3电位函数一.电位函数与电位差I、电慳函数的定义（$1入）RxE三0 ]-可由―标量函烫丧示引入电位菌数卩：■£ = -Vp；说1）电位函数为电滋甌純由蝕是个标虽凿数明⑵负号衣示电场强度的方向从髙电位拒向低电位2、电位差（电压）V £ = />/£01- 爭=/)/爲E - -V(p ]UP：g = —p% -------- 1电拉的泊松方程A点电位为将单位正电荷从A 移到槪力所做的功竹（E = —\J<p - 02DvV-0\(p\二u=5申=——+CjV讷 -uT\v-a讷=0r I F—ts-电场嶽度E与电位翠之间的关系4码，^Q = 4^aU二£= —e r'aU四、利用电位求解电场任存托电荷分布的区域（有MIX）,忒屮，/?=|F-r'|若参考点在无穷远处・4眄、rd(p = \ g)-dl2.4电介质的极化=-V (p1313-V P 具有体电荷密度的董纲C/nP,P n 则貝有面电荷密度的量纲C/iA定义P 产科伍吩陶非心和6分别是人为定文的极化（束给）电荷体密度 和极化电荷血密度.旧（；）二丄f 心时耳丄f 空务叭"R4矶朝R2.5介质中的高斯定理微分形式积分形式 Vx£ = O丄二帀川— £ _^'D-p［万二］戸少=住3買D,E ,P 的关系。