2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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）日期： 2014 年 9月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，本文通过建立燃料最优模型、重力转换模型、统计学模型、垂直软着陆模型，对嫦娥三号软着陆的运行轨迹进行讨论，对其进行了有效的设计与控制。
针对问题一和问题二，本文根据角动量守恒定律和机械能守恒定律，首先计=1693.036m/s，远月点的速度大小为算出嫦娥三号在近月点的速度大小为v1V=1614.648m/s，近月点和远月点的速度相反，并且都垂直于近月点、远月点和2球心的连线。
然后，我们建立燃料最优模型，并进行一定的假设，得到嫦娥三号在主减速阶段的最优轨迹。
根据得到的最优轨迹方程，利用已知条件，得出软着陆过程中的水平位移为458.875km，进一步得出近月点在29.02N,19.51W，高度15Km处和远月点在29.02S,159.49E,高度100Km处。
在快速调整阶段，本文建立了重力转换模型，推导出偏航角控制量和俯仰角控制量的表达式，实现发动机的推力方向与嫦娥三号速度矢量的反方向保持一致。
在粗避障区和静避障区阶段，利用matlabR2008a读出图形数据，建立了统计学模型，利用层次分析的思想，先确定一定的相对平坦的区域作为着陆范围，再在所选的区域中找出精确的着陆点。
对于缓速下降和自由落体阶段，本文建立垂直软着陆模型，采用分段控制方式，把若干推力级别等效为一段连续的推力过程。
嫦娥三号依次经过悬停、匀加速、匀减速和关机降落几个过程。
针对问题三，由于主减速阶段终端时的水平速度无法控制，进而对主减速阶段的运行轨迹产生影响。
本文利用matlab画出剩余时间、偏航角和水平位移关于不同水平速度的图像。
得到水平位移在小的范围内变化所造成的纬度偏角θ的误差很小。
在精避障阶段，确定着陆范围时，所选处理矩阵的大小直接影响探测器能否准确、快速的着陆。
所选区域越大，能找到的最平坦的区域误差就会越小，但数据处理的时间越长。
关键字：嫦娥三号燃料最优重力转弯统计学垂直软着陆分段控制一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m （见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析二、模型假设(1）地球和月球对嫦娥三号的吸引力可以忽略。
（2）在着陆过程中月球的自转可以忽略。
(3)嫦娥三号的着陆点服从正态分布。
(4)嫦娥三号在着陆中不会出现故障。
(5)月球是一个理想球体，不考虑月球非球形重力场和月球偏率的间接效应。
(6)在着陆过程，嫦娥三号的质量不变。
三、符号说明四、问题分析问题一要求我们确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
我们认为根据角动量公式和能量守恒即可算出近月点和远月点的速度。
我们认为根据主减速阶段的水平位移以及近月点高度即可求出近月点和远月点的位置。
问题二要求我们确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
首先我们建立燃料次优显示制导模型，由于主减速阶段燃料消耗约占全部燃料消耗的75%，该模型采用极大值原理，使主减速阶段的燃料消耗最小，并进行一定的假设，得到嫦娥三号在主减速阶段的最优轨迹。
再次我们建立滑模变结构控制模型，推导出偏航角控制量和俯仰角控制量的表达式，实现发动机的推力方向与嫦娥三号速度矢量的反方向保持一致。
在粗避障区和静避障区阶段，利用matlabR2008a读出图形数据，建立了统计学模型，利用层次分析的思想，先确定一定的相对平坦的区域作为着陆范围，再在所选的区域中找出精确的着陆点。
对于缓速下降和自由落体阶段，本文建立垂直软着陆模型，采用分段控制方式，把若干推力级别等效为一段连续的推力过程。
嫦娥三号依次经过悬停、匀加速、匀减速和关机降落几个过程。
问题三要求我们对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
由于主减速阶段终端时的水平速度无法控制，进而对主减速阶段的运行轨迹产生影响。
本文利用matlab2008a画出剩余时间、偏航角和水平位移关于不同水平速度的图像。
得到水平位移在小的范围内变化所造成的纬度偏角θ的误差很小。
在精避障阶段，确定着陆范围时，所选处理矩阵的大小直接影响探测器能否准确、快速的着陆。
所选区域越大，能找到的最平坦的区域误差就会越小，但数据处理的时间五、模型的建立与求解5.1近月点和远月点速度的求解我们知道嫦娥三号着陆准备阶段时在近月点15km，远月点200km的椭圆轨道上运动，此时嫦娥三号完全依靠月球对它的引力做椭圆运动。
我们可知在运动中嫦娥三号的能量守恒，且满足椭圆运动的角动量定律。
即可列出下列公式：v 1r1=v2r2（5-1）-GMm/r1+1/2mv12=-GMm/r2+1/2mv22 （5-2）带入数据即可求得:v1=1693.036m/sv2=1614.648m/s (求解见附件程序Prog1)而近月点和远月点的速度相反，并且都垂直于近月点、远月点和球心的连线。
5.2模型一的建立与求解5.2.1制动软着陆坐标系O0-XYZ，简记为O该坐标系的原点是嫦娥三号质心在软着陆制动时刻的月心矢与标准月球椭球体表面的交点O0，OY轴沿O点与制动时刻嫦娥三号质心O1连线方向，OX在软着陆制动时刻月球嫦娥三号运行的轨道平面内，且与O0Y相互垂直，并指向嫦娥三号的运动方向。
O0Z轴与OX、OY轴构成右手坐标系。
利用该坐标系建立嫦娥三号软着陆过程中相对于月面的运动方程。
5.2.2嫦娥三号本体坐标系O1-X1Y1Z1。
该坐标系原点为嫦娥三号的质心O1，O1X1为嫦娥三号纵轴，指向头部。
O1Y1在嫦娥三号主对称面内，该平面在软着陆制动时刻与制动软着陆坐标系X0OYO平面重合，并且垂直O1X1，O1Z1轴垂直于主对称面，沿运动方向看去，O1Z1指向右方。
该坐标系即我们熟悉的本体坐标系。
5.2.3模型一的建立由于嫦娥三号在主减速阶段的燃料消耗约占全部燃料消耗的75%[1]，因此要选择一个合理的制导控制方案，使嫦娥三号在主减速阶段的燃料消耗最小。
但是由于嫦娥三号是一个强非线性系统，直接求解最优控制问题比较复杂，且难以获得解析形式的表达式，通常需要利用给定初值进行迭代的方法进行计算，不利于嫦娥三号实现自主控制。
因此有必要在合理假设的基础上进行简化处理：（1）只考虑嫦娥三号的质心动力学方程和质心运动学方程，不考虑其绕质心转动动力学等方程。
（2）忽略月球自转，不考虑离心惯性力和哥氏惯性力。
(3) 假设主发动机为理想安装，认为主发动机推力倾差角和推力偏差角均为0。
并忽略姿态发动机推力的影响。
因此，我们得到的嫦娥三号简化模型为：=PmcosφcosΨ=PmsinφcosΨ−fMr2=−PmsinΨ=v x (5−3)v yv z5.2.4模型一的求解我们利用极大值原理来求解最小燃料消耗。
在主减速阶段开始时，主发动机开始点火。
此时，制导系统的主要任务是抵消水平的初始速度，因此可以认为航偏角为180度，俯仰角为小量。
可设cosφ=1, sinφ=k1+k2t带入式(5-3)得到：dv xdt=PmcosΨ0dv ydt=Pm(k1+k2t)cosΨ0−fMr2dv zdt=−PmsinΨ0（5-4）dxdt=v tdydt=v ydzdt=v t求解得到嫦娥三号在主减速阶段的最优轨迹： v xf=a F cosΨ0t rem+v x0v yf=a F k1cosΨ0t rem+a F k2cosΨ0(t rem 2)2+v y0v zf=−a F sinΨ0t rem+v z0 ( 5-5）x f=a F cosΨ0(t rem 2)2+v x0t rem+x0y f=(a F k1cosΨ0−fMr2)(t rem2)2+a F k2cosΨ0(t rem3)6+v y0t rem+y0z f=−a F sinΨ0(t rem2)2+v z0t rem+z0其中：a F=Pm 表示主发动机推力作用在嫦娥三号上产生的加速度。