（2）
前者表示内部位移和载荷的关系，后者表示外在位移函数的内部位移。矩阵 B 表述内部位 移和外在位移的关系。研究中主要关心结构振动模态相应的内部自由度。 设定外在位移为零，以及内部位移的运动为简单谐运动，即
i = ∅eiωt Xi
i −1 = K ii Fi 设Xi
−1 e ， Xi = K ii K ie X e = BXe
图 11 三摆系统线弹簧载荷历程
表 3 仿真结果统计对比 多刚体 最大绝对值（N） 均值（N） 均方根（N） 157 88 104 刚柔耦合 130 93 96
综上所述，多刚体仿真结果无论载荷工况还是运动状态都要比刚柔耦合的剧烈。这里简单 从能量角度说明其结果的差异：系统的机械能总是恒定的（忽略热损耗） ，为势能和动能之和， 且相互动态转化。多刚体系统势能只有位能，而刚柔耦合系统的势能除了位能外，还有柔性体的 变形能。因此在同一时刻，柔性体获得的动能要小于多刚体。因此柔性体的运动状态就不如刚体 剧烈，其惯性力作用也就不如刚性体明显。故当系统中某个部件的结构刚度较小时，就应该考虑 利用柔性体取代常规刚体模拟该部件。 这样能大大减小计算误差， 同时其计算结果如动态评定指 标、载荷工况及运动状态等都更接近实际，精度更高。
1 ABAQUS 及多体动力学仿真计算介绍
ABAQUS是一套功能强大的模拟工程的有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分 析到许多复杂的非线性问题。作为通用的模拟计算工具，ABAQUS能解决结构（应力/位移）的许 多问题。它可以模拟各种领域的问题，例如热传导、质量扩散、电子部件的热控制（热电耦合分 析） 、声学分析、岩土力学分析（流体渗透/应力耦合分析）及压电介质力学分析 。 多体系统由“多体动力学”引申而来，一般泛指包括机械构造、结构材料和控制（软、硬）元 件的整体系统。多体系统仿真则是以电脑辅助的方法对多体系统进行数字化模拟的技术。 多体 系统仿真所面临的挑战大致可分为 5 类：大型模型的运算、滑动和碰撞接触、运动中的柔性体、 控制-机构集成，以及系统的设计与优化。由于 ABAQUS 侧重于结构有限元计算，故其本身多体 仿真功能远不如专业多体动力学软件强大。但经过多年的发展，ABAQUS 与多体动力学仿真软件 的接口越来越完善。作为联合多体动力学软件做刚柔耦合多体仿真的有限元软件，ABAQUS 在该 领域得到越来越广泛的应用。
从上述的一系列公式，可以说明 ABAQUS 子结构缩减暨 GUYAN 缩减算法的基本过程，即用 一些缩减的节点和单元来准确的描述整体结构。这些节点和单元分别称为超节点（Super Node） 和超单元（Super Element） 。如果希望得到一个更为合理的节点分布，目前的 ABAQUS 版只能手 工添加自己关心的节点。
[2]
接、 弹簧和阻尼上。 这些自由度对多体仿真是十分重要的， 作为主自由度不能在缩减过程中删除， 而剩余的其它自由度称为内部自由度是可以进行缩减的。 内部自由度既可以表示为和外部自由度 之间的静态关系， 也可以表示为一系列广义自由度之间的动态关系。 这些广义的自由度通过研究 子结构的特征模态获得。特征模态主要根据研究对象的重点进行有效的选择。 子结构的动力学方程可以表示为： � Mee Mie Mei Ẍ e Cee � � �+� Mii Ẍ i Cie ̇ K Cei Xe � � �+� ee Cii Ẋı K ie K ei Xe Fe � � �=� � K ii Xi Fi （1）
5 结论
随着计算机仿真技术的发展，ABAQUS 应用范围不断扩大。在多体动力学仿真计算中，加入 ABAQUS 柔性体，使模型更接近真实；而同时通过刚柔耦合多体动力学仿真分析，能够得到部件 上更准确、更充分的载荷条件，为结构有限元仿真分析又提供更合理的边界条件与载荷工况，对 提高有限元分析精度也大有益处。 参考文献： [1] 庄茁等译. ABAQUS/Standard 有限元软件入门指南. 清华大学出版社，1998.12 [2] 缪炳荣. 基于多体动力学和有限元法的机车车体结构疲劳仿真研究. 西南交通大学博士研究 生学位论文， 2006.10
Φ = [∅1 , ∅2 , … , ∅s ]
（6） （7）
将（8）式以及其一阶和二阶时间微分，分别代入（1）式中，且在前面乘上 HT，可以得到 m11 �m 12 m21 Ẍ e c11 m22 � � ÿ �+�c12 ̇ c21 X e k11 c22 � � ẏ �+�k12 k 21 Xe F1 � � �=� � F2 k 22 y (9)
质量体 1 质量体 2 质量体 3 线弹簧
刚体质 量体 2
图 2 三摆系统模型（带线弹簧）
图 3 三摆系统多刚体系统模型
柔性体质 量体 2 图 4 刚柔耦合三摆系统图 5 质量体有限元模型
质量体的有限元模型如图 5 所示，共计 19088 个实体单元，共计 114528 个自由度。以动力 学计算目的而言，如此规模网格模型直接代入 SIMPACK 对求解器是一种负担，同时目前软件版 本也无法实现，因此需要将整体有限元模型缩减，这个过程称为有限元单元模型缩减，原理部分 如本文 2.1 节所述，而在 ABAQUS 中是用子结构创建来描述整个缩减过程。通过单元缩减，该模 型的子结构就为 5 个节点组成，共 15 个自由度，如图 6 所示。另外在 ABAQUS 中，通过运动耦 合算法使整个有限元模型振动模态用这 5 个节点描述即可，从而生成只有 15 个自由度的子结构 用于多体动力学仿真计算。 该子结构在 ABAQUS 老版本中也称为超单元。 图 7 为加入柔性质量体 2 后的示意。
结构有限元 模型义超单元，读 入子结构文件， 进行特征值计算 有限 元子 结构 分析 输出结果 *_cad.inp *_superele ment.odb FEMBS 前 处理 SIMPACK 柔体文件
选择 Marker 点 选择特征模态 选择频响模态 结构阻尼特性的定义等
多体软件 前处理
图 1 ABAQUS 联合多体软件生成柔性体的基本过程
3 刚柔耦合系统仿真示例
本文以三体耦合物理摆系统为对象（后简称三摆系统） ，比较多刚体系统建模和刚柔耦合系 统建模两者间仿真结果的差异，验证刚柔耦合系统仿真技术的必要性。三摆系统如图 2 所示，系 统包括三个相同的质量体，质量体 3 与线弹簧连接，研究各部分的载荷工况与运动状态。质量体 包括橡胶材质的杆和金属材质的球两部分组成。 本文建立两种动力学模型， 一种是全为刚体组成， 如图 3 所示；另一种是质量体 2 为柔性体，质量体 1 和 3 为刚体，联合组成刚柔耦合多体系统模 型，如图 4 所示。
其中 X 是位移矢量，M 是质量矩阵，C 是阻尼矩阵，K 是刚度矩阵以及 F 是载荷矢量。各个 矩阵通过下标 i（表示内部）和 e（表示外部）自由度，以及自由度之间关系等。 如果只考虑静态，式（1）可以简化为刚度、位移和载荷的方程，通过求解，可以获得
−1 Xi = K −1 ii Fi − K ii K ie Xe
[1]
2 刚柔耦合多体动力学介绍
多体系统可以由刚体和柔性体（也说成是弹性体）组成，通过和全局参考框架之间的铰接 和力元等元素混合建模。论文中使用ABAQUS和SIMPACK软件进行刚柔混合体的动力学建模和仿 真 。 多体仿真主要目的有两点，一是在设计阶段评定系统的动力学指标是否达到要求；二是考 察系统内部各部件之间的载荷工况和运动状态。利用 ABAQUS 建立的部件柔性体模型代入 SIMPACK 中进行刚柔耦合多体仿真计算，不但能提供更准确的模型用于多体仿真计算，而且多体 仿真结果之一的部件工况也能更准确的描述有限元模型的边界条件和力载荷， 使有限元计算结果 更合理、可信度更高。 在多体软件中无法直接使用有限元分析结果，必须要对模型进行缩减处理。目前典型的有 静态缩减、GUYAN 缩减、RITZ 函数缩减、动态缩减（子模态合成技术） 。在 ABAQUS 中，主要利 用 GUYAN 缩减方法进行弹性体结构缩减。结构模型缩减的效果如何及其准确度很大程度上依赖 于对结构主自由度的合理选择。 使用这种方法可以使得结构的质量矩阵和刚度矩阵在结构的固有 频率和振型计算时缩减到每个主自由度上， 使参与多体计算的柔性性模型自由度大幅度减少， 极 大提高联合计算效率。 2.1 ABAQUS 子结构算法 ABAQUS 子结构的所有自由度可以分为内部和外部自由度， 外部自由度附着在多体系统的铰
ABAQUS 在多体动力学仿真计算中的应用
王永冠，卜继玲，李心
株洲时代新材料科技股份有限公司 技术中心
摘要:通过三体耦合物理摆为例， 介绍了 ABAQUS 在刚柔耦合多体动力学仿真分析中的应用。 简单 介绍了 ABAQUS 的 GUYAN 单元缩减算法，强调了刚柔耦合动力学仿真技术的重要性。 关键字：ABAQUS；多体动力学；GUYAN；刚柔耦合
内部位移可以通过相应自由度的特征模态表示。设子结构中 n 为 p 个外在自由度的激活自 由度，缩减系统的位移可以表示为外在自由度和广义自由度 y，即
i Xi = � ∅k yk = Φy k=1
（7）式中的特征矢量矩阵有维数 s(n-p)缩减系统的位移可以表示为外在自由度和新的广义 自由度 y 之间的公式 X=� Xe I �=� Xi B X 0 Xe � � � = H � e� y y Φ (8)
（3）
其中Φ是特征矢量，通过对时间求微分，方程（2）可以改写为 (−ω2 Mii + iωCii + K ii )∅eiωt = Fii (−ω2 Mii + K ii )∅ = 0
s
（4）
其中ω是角频率。通过设定输入载荷 Fii=0，且忽略阻尼矩阵，可以求出正则模态。 （4）可 以简化为： （5）
图 10 质量体 2 相对质量体 1 角位移历程
表 2 仿真结果统计对比（相对角位移） 多刚体 最大绝对值（Rad） 均值（Rad） 均方根（Rad） 1.05 -0.09 0.61 刚柔耦合 0.63 -0.14 0.28