波的图像【学习目标】1．理解波的图像的意义．知道波的图像的横、纵坐标各表示什么物理量，知道什么是简谐波．2．能在简谐波的图像中指出波长和质点的振动的振幅．3．已知某一时刻某简谐波的图像和波的传播方向，能画出下一时刻的波的图像。

并能指出图像中各个质点在该时刻的振动方向．【要点梳理】要点一、波的图像1．图像的建立用横坐标x表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定横波中位移方向向某一个方向时为正值，位移方向向相反的方向时为负值．在xOy平面上，描出各个质点平衡位置x与对应的各质点偏离平衡位置的位移y的坐标点，），用平滑的曲线把各点连接起来就得到了横波的波形图像（如图所示）．（x y2．图像的特点（1）横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向的最大值，波谷即为图像中位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置．（2）波形图像是正弦或余弦曲线的波称为简谐波．简谐波是最简单的波．（3）波的图像的重复性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同．（4）波的传播方向的双向性：不指定波的传播方向时，图像中波可能向x轴正方向或z轴负方向传播．波动图像的意义：描述在波的传播方向上的介质中的各质点在某一时刻离开平衡位置的位移．3．由波的图像可以获得的信息知道了一列波在某时刻的波形图像，如图所示，能从这列波的图像中了解到波的传播情况主要有以下几点：（1）可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移．图线上各点的纵坐标表示的是各质点在该时刻的位移．如图中的M点的位移是2 cm．（2）可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A ，即波动图线上纵坐标最大值的绝对值，即 4 cm A =．（3）可以判断出沿传播方向上各质点在该时刻的运动方向．如要确定图线上N 点的振动方向，可以根据波的传播方向和波的形成过程，知道质点N 开始振动的时刻比它左侧相邻质点M 要滞后一些，所以质点M 在此时刻的位移值是质点N 在下一时刻的位移值，由此判断出质点N 此时刻的速度方向应沿y 轴正方向，即向上振动．如果这列波的传播方向改为自右向左，则质点M 开始振动的时刻比它右侧相邻质点N 要滞后一些，所以质点N 此时刻的位移值将是质点M 在晚些时刻的位移值，由此判断出质点M 此时刻的速度方向应沿y -方向，即向下振动．总之，利用波的传播方向确定质点运动方向的方法是要抓住波动的成因，即先振动的质点（即相邻两点中离波源比较近的质点）总是要带动后面的质点（即相邻两点中离波源比较远的质点）运动．要点二、波的传播方向与质点振动方向的关系已知质点的运动方向来判断波的传播方向或已知波的传播方向来判断质点的运动方向时，判断依据的基本规律是波形成与传播的特点，常用的方法有： 方法一（上下坡法）：沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动；“下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）． 方法二（同侧法）：在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点运动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧（如图乙所示）．方法三[头头（尾尾）相对法]：在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，并在波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点运动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对（如图丙所示）． 方法四（微平移法）：如图丁所示，实线为t 时刻的波形图，作出微小时间4T t t ⎛⎫∆∆<⎪⎝⎭后的波形如虚线所示．由图可见t 时刻的质点由1P （或2P ）位置经t ∆后运动到1P ＇（或2P ＇）处，这样就可以判断质点的运动方向了．要点三、已知一个时刻的波形画出另一个时刻的波形（1）描点法：先利用波的传播方向判断出各质点的振动方向，再描出各质点经时间t ∆后（或前）的位置，然后用平滑曲线连接各点即可得到经时间t ∆后（或前）某时刻的波形．（2）平移法：波由介质中的某一点传播到另一点需要一定的时间，即机械波在介质中是以一定的速率v （通常称波速）传播．在时间出内某一波峰或波谷（密部或疏部）沿波的传播方向移动的距离等于v t ∆．如果已知一列简谐波在t 时刻的波形图像及波的传播方向，又知波速，就可以画出经t ∆后的波形图像． 具体方法是：①在已知的某一时刻的波形图像上将波的图像沿波的传播方向移动一段距离x v t ∆∆=，即得到t t ∆+时刻的波形图像．②若要画出t t ∆-时刻的波形图像，则需将波形图像逆着波的传播方向移动一段距离x v t ∆∆=，即得到t t ∆-时刻的波形图像．要点四、纵波图像的建立波的图像是一种数学的表示方法，只是在横波的情况下能直观地表示出波形．在纵波中，如果规定质点的位移方向向右时取正值，位移方向向左时取负值，可以同样地画出如图丙所示的纵波的图像，可以看出纵波的图像与纵波的“形状”并无相同之处．实际上，在横波中如果规定位移方向向下时取正值（一般不这样规定，但这样规定未尝不可），则作出的波的图像与横波的形状恰好相反．图甲表示各个质点所在的平衡位置，图乙表示各个质点发生的位移，图丙表示纵波的图像，其中横坐标表示各个质点的平衡位置，纵坐标表示各个质点的位移，如x 2表示质点2向右的位移，x 5表示质点5向左的位移．上图中，金属球振动起来之后，依次带动后面的质点振动，只是后一质点比前一质点迟一些开始振动。

与绳子上的波不同的是，这里的质点是沿着波的传播方向前后振动的。

由于各质点振动的情况不同，它们在同一时刻相对于各自平衡位置的位移不同，因而质元间的距离有的地方比平衡时的距离小，有的地方比平衡时的距离大。

右图中画出了123、、诸质元在不同时刻的位置，可以看出弹簧从整体上形成疏密相间(而不是峰谷相间)的波动，而且密部和疏部沿弹簧向右传播。

要点诠释：空气和液体中的声波就是一种纵波。

要点五、振动图像和波动图像的比较特点 振动图像 波动图像相 同 点图线形状 正（余）弦曲线 正（余）弦曲线纵坐标y 不同时刻某一质点的位移某一时刻介质中所有质点的位移纵坐标最大值 振幅振幅不 同点 描述对象 某一个振动质点一群质点（x 轴上各个点）物理意义 振动位移y 随时间t 的变化关系 x 轴上所有质点在某一时刻振动的位移y横坐标表示时间t 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义表示周期T表示波长λ（见下节）图像变化 随时间延伸 随时间推移其 他频率和周期在图中直接识读周期T已知波速v 时，根据图中λ可求出/v T λ=（见下节） 两者联系质点的振动是组成波动的基本要素之一波动是由许多质点振动所组成的，但从图像上波形的变化无法直接看出，若知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况【典型例题】类型一、根据波的图像判断质点速度、加速度例1．如图所示是一列沿x 轴正方向传播的横波某时刻的波形图，则：（1）波形图上a b c 、、三点的加速度哪个最大？加速度的大小与波的传播方向是否有关？ （2）a b c 、、三个质点下一时刻做什么运动？【思路点拨】波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动．【答案】见解析。

【解析】该题考查波动图像上各质点的运动情况．、、三个质点都做简谐运动，在质量一定的情况下，加速度大小与位移成正比，方向与（1）a b c位移方向相反，故知b点的加速度最大．质点加速度的大小与波的传播方向无关。

（2）此时刻b质点速度为零，下一时刻一定向平衡位置做加速运动；若波沿x轴正方向传播，则、质点的加速度都是沿y轴负方向，故a质点做加下一时刻a质点向下运动，c质点向上运动，而a c速运动，c质点做减速运动．【总结升华】形成简谐波时，波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动．举一反三:【高清课堂：波的图像例９】【变式1】如图所示，在x y平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为lm/s，振幅为4cm，t 时刻，P点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P为0.2m的Q点（）频率为2.5Hz，在0A．在0.1s时的位移是4cm；B．在0.1s时的速度最大；C．在0.1s时的速度向下；D．在0到0.1s时间内的路程是4cm．【答案】BD【变式2】（2014 绵阳期末）如图所示为一列在均匀介质中沿x轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形图，波速为4 m/s，则()A．质点P此时的振动方向沿y轴正方向B．P点振幅比Q点振幅小C．经过Δt＝3 s，质点Q通过的路程是0.6 mD．经过Δt＝3 s，质点P将向右移动12 m【答案】C【解析】由机械波沿x轴正方向传播，利用“带动”原理可知，质点P此时的振动方向沿y轴负方向，选项A错误；沿波传播方向上各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，并且各质点振动的幅度相同，即振幅相同，选项B、D均错误；根据波形图可知，波长λ＝4 m，振幅A ＝5 cm ，已知v ＝4 m/s ，所以1s T vλ==，Δt ＝3 s ＝3T ，质点Q 通过的路程是12A ＝60 cm ＝0.6m ，所以选项C 正确．例2．一列横波沿绳子向右传播，某时刻形成如图所示的凸凹形状，对此时绳上A B C D E F 、、、、、六个质点（ ）．A ．它们的振幅相同B ．其中D E 、速度方向相同C ．其中A G 、速度方向相同D ．从此时算起，B 比C 先回到平衡位置【答案】A 、D【解析】波源振动，绳上各质点都做受迫振动，不计传播中的能量损耗，各质点的振幅相同，则A 项正确；波向右传播，则波源在左侧，离波源远的质点落后并重复波源近的质点的振动，由此可知此时质点A 正向下振动，C 点随质点B 向上振，D 点随C 点向上振，F 点随E 点向下振，则A 与C 、D 与E 的振动方向均相反，则B 、C 两项错误；而质点B C 、都向上振。

都要先到最大位移处再回到平衡位置，但C 落后于B ，则B 比C 先回到平衡位置，故A 、D 两项正确．【总结升华】波的图像表示在某一时刻介质中各个质点相对平衡位置的位移．波有三个要素：即某一时刻的波形图，质点的振动方向和波的传播方向．两个特性：即双向性——在不注明波的传播方向时，波的传播有沿x 正、负两种方向．而周期性是波形成多解的另一重要原因．（方向有两种可能性）举一反三:【高清课堂：波的图像 例5】【变式】一列横波沿x 轴的正方向传播，0t =时刻的波形如图所示，再经过0.36s ，位于6m x =处的质点刚好第二次到达波峰位置，由此可知（ ）A ．这列波的频率是6.25HzB ．这列波的速度是25m/sC ．5m x =处的质点刚好第一次到达波谷位置的时间是0.16sD ．波由3m x =处的质点传到7m x =处的质点需时间0.16s【答案】ABD类型二、根据波的图像判断质点振动例3．一列简谐横波沿x 轴负方向传播，图（a ）是 1 s t =时的波形图像，图（b ）是波中某振动质点位移随时间变化的振动图像（两图用同一时间起点）．（1）图（b ）可能是图（a ）中哪个质点的振动图像？（ ）（2）若波沿x 轴正方向传播，则图（b ）可能是图（a ）中哪个质点的振动图像？（ ） A ．0x =处的质点 B ． 1 m x =处的质点 C ． 2 m x =处的质点 D ． 3 m x =处的质点（3）设波沿x 轴负方向传播，画出 3 m x =处的质点的振动图像．【思路点拨】看清是哪一时刻的波形图像，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图像．【答案】（1）A （2）C （3）如图所示． 【解析】（1）选A ．当 1 s t =时，由图（b ）振动图像可知，质点x 在 1 s t =s 时在平衡位置，正要沿y 轴负方向运动，由图（a ）波动图像向x 轴负方向传播及题中所给选项可判断0点在平衡位置，正沿y 轴负方向运动．（2）选C ．由图（a ）波动图像向x 轴正方向传播可判断 2 m x =处的质点在平衡位置，正沿y 轴负方向运动．故选C ．（3）在 1 s t =时， 3 m x =处的质点正在正向最大位移处。