完全平方公式讲解第一部分概念导入1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；2．学生计算3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。

（1）（2）之间只差一个符号。

推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2注意：（2）中n 2的指数2与公式中b 2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． ［例2］计算（1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m 与－n 是同号，所以公式中的2ab 取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．解：（1）（－m －n ）2＝（－m ）2＋2·（－m ）（－n ）＋（－n ）2＝m 2＋2mn ＋n 2（2）（－5a －2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）（5a ＋2）＝－（5a ＋2）2＝－（25a 2＋20a ＋4）＝－25a 2－20a －4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m －n 与m ＋n 相乘，再将所得结果m 2－n 2与中间括号里的m 2－n 2相乘，可利用完全平方公式．解：（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）＝（x 2－4xy ＋4y 2）－（x 2－y 2）＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2＝－4xy ＋5y 2（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）＝（m －n ）（m ＋n ）（m 2－n 2）＝（m 2－n 2）（m 2－n 2）＝（m 2）2－2·m 2·n 2＋（n 2）2＝m 4－2m 2n 2＋n 4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），将此题转化为平方差公式进行计算．解法一：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2＝（x 2＋xy ＋42y ）－（x 2－xy ＋42y ）＝x 2＋xy ＋42y －x 2＋xy －42y＝2xy解法二：［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a ＋b ）（a －b ）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 随堂练习一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．（a －1）2=a 2－2a+1C ．a 6÷a 3=a 2D ．（a 4）5=a 92．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（x+y ）2=x 2+y 2B ．（x －y ）2=x 2－y 2C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y23．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）2 4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空题5．（－x－2y）2=_____．6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．8．（_____－13y）2=94x2－xy+______；（_____）2=916a2－6ab+_____．三、解答题9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－1 3．11.利用公式计算：196212.某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？13.已知x+y=1，求12x2+xy+12y2的值．14.已知a+1a=5，分别求a2+21a，（a－1a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，•则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．16.小明在计算2222009200820092007200920092+-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？17．已知：a ＋b ＝－5，ab ＝－6，求a 2＋b 2．18.利用公式计算：992－119.计算 （1）)1)(1(+-ab ab ； （2）)32)(32(---x x ；（3）1022； （4）992.（5）)1)(1(-+++b a b a ；（6）2)2(p n m +-.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?21.当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a---+=-=时，求的值22.求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数23.观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.24.已知2294y Mxy x+-是一个完全平方式,求M 的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?答案一、1．B2．C 点拨：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以A 不正确；（x －y 2=x 2－2xy+y 2，所以B 不正确；（－x+y ）2=（－x ）2+2（－x ）·y+y 2=x 2－2xy+y 2，所以C 正确；（－x －y ）2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以D 也不正确，故选C ．3．D4．D 点拨：因为（x －4）2=2－8x+16，所以若（x －4）2=x 2－8x+m 2成立，则m 2=16，从而得m=±4，故选D ．二、5．x 2+4xy+4y 2 点拨：（－x －2y ）2=[－（x+2y ）] 2=（x+2y ）2=x 2+4xy+4y 2．6．48xy 点拨：B=（3x+4y ）2－（3x －4y ）2=9x 2+24xy+16y 2－（9x 2－24xy+16y 2）•=•9x 2+•24xy+16y 2－92+24xy －16y 2=48xy ．7．13 点拨：因为a －b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a －b ）2+2ab=32+2×2=9+4=13．8．32x ；19y 2；34a －4b ；16b 2三、9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．10．解：（2x －1）（x+2）－（x －2）2－（x+2）2=2x 2+4x －x －2－（x 2－4x+4）－（x 2+4x+4）=2x 2+3x －2－x 2+4x －4－x 2－4x －4=3x －10．当x=－13时，原式=3×（－13）－10=－1－10=－11． 11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算． 解：1962① ＝（200－4）2 ②＝2002－2×200×4＋42＝40000－1600＋16＝38416说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．解：原正方形面积：a 2现正方形面积：（a －3）2面积减少了a 2－（a －3）2＝a 2－（a 2－6a ＋9）＝a 2－a 2＋6a －9＝（6a －9）（cm 2）答：面积减少了（6a －9） cm 2．13.解：因为x+y=1，所以（x+y ）2=1，即x 2+2xy+y 2=1． 所以12x 2+xy+12y 2=12（x 2+2xy+y 2）=12×1=12． 点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．14.因为a+1a =5，所以a 2+21a =（a+1a ）2－2·a·1a =52－2=23，所以（a －1a ）2=a 2+21a －2·a·1a =23－2=21．点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a 2+b 2=（a+b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a －b ）2+4ab ，（a －b ）2=（a+b ）2－4ab 等等．15.解：设这个正方形花坛的边长为x 米，依题意列方程得，（x+3）2－x 2=39，•即x 2+6x+9－x 2=39，6x=30，x=5．答：这个正方形花坛的边长为5米．点拨：适当引进未知数，•根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．16．解：知道，做法如下：2222009200820092007200920092+-=22220092008(200920081)(200920081)2-++- =222200920082009200822009200812009200822009200812-⨯+++⨯+- =2220092008220092008⨯=12．点拨：由200920072=（20092008－1）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可．17.点拨：同时存在a ＋b ，ab ，a 2＋b 2的公式为完全平方公式（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．注意：Ⅰ．不要分别求出a 和b ，运算繁琐．Ⅱ．若已知a ＋b （或a －b ），ab ，a 2＋b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab当a ＋b ＝－5，ab ＝－6时原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算. （4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ； （2）)32)(32(---x x= )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； （3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； （4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（6）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a-+=-+--； 当时，1,1=-=b a 222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.22.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍. 证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x±=229124y xy x +±得: 12±=-M . ∴12±=M答:M 的值是±12. 25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯ =277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.。