4.2有限元法 有限元法
有限元方法是在数学上由R.Courani首先提出的， 一种以微分方程为基础来求数理边值问题的计 算方法。而后在R.w.clough的著作中网正式被 命名。 优点主要有:①离散单元的灵活性，它可以较精 确的模拟各种复杂的几结构，并通过选择取样 点的疏密来适应场分布的不同情况，在保证计 算精度的同时，增加过多的计算量;②有限元方 程组的系数矩阵是稀疏的、对称的，有利于代 数方程的求解。
2.金属平面上的表面等离子体模式 金属平面上的表面等离子体模式
在金属与介电物质（或是真空）之间形成的介面附近， 金属表面的电荷密度发生集体式电偶极振荡现象（如图 所示），我们称为表面等离子体振荡（surface plasma oscillation）。
Z<0是金属部分，Z>0是介电材料或是真 空的部分。电场强度离开介面后会呈指数 函数衰减的情况。 TE 电场只存在于平行于分界面的方向上 TM 磁场只存在于平行于分界面的方向上 传统的探测手段不能探测很快衰减的高 频波，近场光学显微镜就可以在一定程度 上解决这个问题
总结
本文从总体上介绍了表面等离子体波的特 性以及研究此问题的近场光学。描述了近 场光学显微镜的构成以及其典型工作方式。 之后从麦克斯韦理论出发，对近场问题进 行了详细的理论分析，进而引入现在常用 的数值计算方式。
1.表面等离子体介绍
表面等离子体（surface plasmon）是存在于金属与介 电质界面上的表面电磁波。在二十世纪初，就已经在金 属光栅的反射光谱中观察到与表面等离子相关的光学现 象。表面等离子共振的高灵敏度，也被广泛利用于化学、 生物感测上。表面等离子体模式会局限在金属表面附近， 形成高度增强的近场（highly enhanced near-field）。 例如表面增强拉曼光谱学（Surface-enhanced Raman spectroscopy, SERS），长久以来，光学元件受限于光 的衍射极限（optical diffraction limit），在光学元件的 制作上一直未能达到极小、极高密度、极高效率的目的。 人们对纳米尺度下的光学现象产生了极大的兴趣，引发 了对纳米光学（nano-optics）与纳米光子学 （nanophotonics）的热烈研究。
3.近场光学显微镜 近场光学显微镜
传统光学显微镜以透镜为成像的核心元件，然 而由于其工作距离总是大于探测光波波长，分 辨率受衍射极限的限制。 1881年，英国人LRaleigh将德国人abbe的空间 分辨率极限表示为瑞利判据，随着时代的进步 科技的发展，所以另一种光学显微镜—近场光 学显微镜应运而生，其成像原理基于电磁场理 论，并且能够突破传统的光学衍射极限，使探 测达到纳米尺度。
4.1时域有限差分法 时域有限差分法(FDTD) 时域有限差分法
时域有限差分(FDTD)方法在1966年由 K.s.Yee提出，该方法直接将有限差分式 代替麦克斯韦时域场旋度方程中的微分式， 得到关于电磁场分量的有限差分式，用具 有相同电磁参量的空间网格去模拟被研究 体，选取合适的场初始值和计算空间的边 界条件，可以得到包括时间变量的麦克斯 韦方程的四维数值解。
1928年，E.H.Synge在《Phil.Mag.》上提出:利 用小于波长的光学孔径作为光源，并在探测距 离也小于光波长的条件下通过扫描样品光点强 度，来实现超衍射极限分辨。 在1972年，E.AAsh和G.Nichofs采用3cm微波 利用近场成像原理在实验中实现了超衍射分辨 用直径为1.smm的小孔扫描光栅样品，成像分 辨率达入/60。 由于技术的限制，这种新思想直到1981年STM 的发明才得以实现。
近场光学理论及近场光学显微镜 介绍
2604101022 孙森
摘要
由对表面等离子体的介绍引入表面波与传统光 学所研究的远场电磁波的不同点，说明了其近 场波具有的衰减波突破了传统光学衍射极限的 限制。因此对近场光学的研究是必要的。然后 本文介绍了现有近场光学显微镜的典型工作方 式及结构，简要概括了不同工作方式的特点及 其适用目的。后半部分着重介绍了四种常用的 近场光学的理论分析方法。它们分别是：时域 差分法（FDTD），有限元法，矩量法，多重极 子法。
一般近场光学成像系统的基本结构分为:小 孔径扫描近场光学显微镜(A一SNOM)、无 孔径尖散射扫描近场光学显微镜(S一 SNOM)和PsTM三种基本类型，根据光与 样品的关系又可分为透射型(T)和反射型(R) 两类。
4.近场光学理论分析方法 近场光学理论分析方法
近场光学显微镜成像结果的解释是一个非 常复杂的问题，因为所得的光强图像反映 是样品形貌及光学参量的综合变化，为了 细致的考察成像的各种因素，必须从理论 上去拟分析近场光学显微镜成像过程，从 而能分析近场成像。
近场光学成像不同于经典光学，它所涉及 的是一个波长范围内的光学理论和现象。 所谓的“近场”区域内包含 ：(l)辐射场: 是可向外传输的场成分;(2)非辐射场:是被 限制在样品表面并且在远处迅速衰减的场 成分。 由于近场波体现了光在传播时遇到空间光 学性质不连续情况下的瞬态变化，所以可 以通过探测样品的隐失场来探测样品的亚 波长结构和光学信息。
4.3矩量法 矩量法 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组 的方法，适用于微分方程和积分方程。最早被 的方法，适用于微分方程和积分方程。 Richmand和Hatrington用于求解电磁场问题 Richmand和Hatrington用于求解电磁场问题 4.4多重多极子法 多重多极子法 Novotny 和Hafner 等人受到无线电天线设计方 法的启发,从 年以后,开始利用多极本征函 法的启发 从1993 年以后 开始利用多极本征函 数的方法研究近场光学的理论问题。 数的方法研究近场光学的理论问题。
如图所示的近场光学探测原理:将一个亚波长尺寸的光源 (如一个纳米小孔)，放置在样品的近场区域(距离远小于 波长)，样品被照明的区域仅由光源或小孔的尺寸决定而 与光源波长无关，这样探测光强信号就可以得到样品的 光学图像。由于所成图像的分辨率仅由孔径的大小所决 定，这样就能够突破传统光学显微镜的衍射限制。
Yee氏网格中每个坐标轴方向上场分 量间相距半个网格空间步长，因而 同一种场分区域，可把Maxwell方程的两个旋 度方程表示为如下的形式: (4.1) (4.2)
磁场各分量的差分方程可由方程的对称性得出。 算法的特点是:任一网格点上的电场分量只与四 周环绕它的磁场分量和前一个时间步的值有关; 同样地，任一网格点上的磁场分量也只与四周 环绕它的电场分量和前一个时间步的值有关。 并且式中的:ε,µ,δe,δm，参数都表示成了空间坐 标的函数，因此这种算法能方便有效地处理媒 质的非均匀性和各向异性问题。