时， a
b
1-9 半径为 R 的轮子，以匀速 v0 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为 x ＝ R (t sin t) ， y ＝ R (1 cost) ，式中 v0 / R 是轮子滚动的角速度，当 B 与 水平线接触的瞬间开始计时．此时 B 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x 轴正方向；(2)
dy dt
R sin t)
a x a y
R 2 R 2
sin t dvx dt
cost dvy dt
1-10 以初速度 v0 ＝20 m s1 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R1 ；(2)落地处的曲率半径 R2 ．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
分离变量，得
dv (4 3t)dt
v =0，
积分，得
v
4t
3 2
t2
c1
由题知， t 0 , v0 0 ,∴ c1 0
v 4t 3 t 2
故
2
又因为 分离变量，
v dx 4t 3 t 2
dt
2
dx (4t 3 t 2 )dt 2
积分得
x
2t 2
1 2
t3
c2
由题知 t 0 , x0 5 ,∴ c2 5
t3 2
2 3t 3 2 3 2 2.67 rad
则解得
9 于是角位移为
9
1-8
ห้องสมุดไป่ตู้
质点沿半径为 R 的圆周按 s ＝ v0t
1 bt 2 2 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧
长, v0 ，b 都是常量，求：(1) t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b ．
∴
v绳
dl dt
v0 , v船
ds dt
即
v船
ds dt
l s
dl dt
l s
v0
v0 cos
或
v船
lv0 s
(h2
s 2 )1/ 2 v0 s
将 v船 再对 t 求导，即得船的加速度
a
dv船 dt
s dl l ds dt dt s2
v0
v0 s lv船 s2
v0
(s
l2 s
)v02
h 2v02
dr
其二，可能是将 dt dt 2 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 dt 不是速度的模，
d2r
而只是速度在径向上的分量，同样， dt 2 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的量一值部）方分面a随径时间dd的t22r变化r率dd，t 而2 没 。有或考者虑概位括矢性r地及说速，度前v一 的种方方向法随只间考的虑变了化位率矢对r速在度径、向（ 加速即
习题及解答（全）
习题一
dr dr
dv dv
1-1 ｜ r ｜与 r 有无不同? d t 和 d t 有无不同? d t 和 d t 有无不同?其不同在哪里?试
举例说明．
解：（1） r
是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r
r2 r1 ， r
r2
r1
；
dr
dr
ds
（2） d t 是速度的模，即 d t v dt .
解：（1）
v
ds dt
v0
bt
a
dv dt
b
an
v2 R
(v0
bt)2 R
a
则 加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
a2
a
2 n
b2
(v0
bt)4 R2
arctan a an
Rb (v0 bt)2
ab
b2
(v0
bt)4 R2
即
b2
b2
(v0
bt)4 R2
,
(v0
bt)4
0
t
∴当
v0 b
dr
dt 只是速度在径向上的分量.
dr d r rˆ r drˆ
∵有 r r rˆ （式中 rˆ 叫做单位矢），则 d t d t
dt
dr
式中 dt 就是速度径向上的分量，
dr 与 d r ∴ d t d t 不同如题 1-1 图所示.
题 1-1 图
dv
a dv dv
(3) ∵有
dt v
v表示(加表速轨度道的节模线，方即向单位矢ddt）v，，所dd以tv 是 加v速d度
的分量，再合成求得结果，即
v=
dx 2 dy 2 dt dt 及 a =
d2 dt
x
2
2
d2 dt
y
2
2
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
r
xi
yj
，
故它们的模即为
v
dr
dx
i
dy
j
a
d 2drt dt 2
求 B 点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题 1-9 图
x
v0t
2R
sin
2
cos
2
(1)
v0t R sin
R(t R sin t)
y 2R sin sin 22
R(1 cos ) R(1 cost)
(2)
v x
dx dt
R (1 cost)
v y
的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成
直角坐标系中的矢量式)．
r
(3t
5)i
(1
t
2
3t
4)
j
解：（1）
2
m
(2)将 t
(3)∵
1,
t
2
代入v上式即r 有r0r4r5rrj10rr224811rji211,irj403.25j410j7jji4mm.531ji6mj
x 2t 2 1 t 3 5
故
2
所以 t 10 s 时
v10
4 10
3 102 2
190
m s 1
x10
2 102
1 103 2
5
705
m
1-7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 t 3 ， 式中以弧度计， t 以秒 计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成 45°角
dt d2x dt 2
i
dt d2y
dt 2
j
v
v
2 x
v
2 y
dx 2 dy 2 dt dt
a
a
2 x
a
2 y
d2x dt 2
2
d2 y dt 2
2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
v dr dt
a
d2r dt 2
dr 与 d 2r
1 v2 2x 2x3 c 两边积分得 2
由题知， x 0 时， v0 10 ,∴ c 50
∴
v 2 x3 x 25 m s1
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3 t m s2 ，开始运动时，x ＝5 m， 求该质点在 t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a dv 4 3t dt
则 v R 0.4 0.4 0.16 m s1
an R 2 0.4 (0.4)2 0.064 m s 2 a R 0.4 0.2 0.08 m s2
a an2 a2 (0.064)2 (0.08)2 0.102 m s2
1-12 如题 1-12 图，物体 A 以相对 B 的速度 v ＝ 2gy 沿斜面滑动， y 为纵坐标，开始时 A 在斜面顶端高为 h 处， B 物体以 u 匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度．
s2
s3
1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+6 x 2 ，a 的单位为 m s2 ，x 的单位
为 m. 质点在 x ＝0 处，速度为 10 m s1 ,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
分离变量：
d adx (2 6x2 )dx
a
在切向上的分量.
dt dt dt
dv
式中drdˆ t与就d是ˆ加速度的切向分量. ( dt dt 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为 x = x ( t )， y = y ( t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
dr
d2r
出 r＝ x 2 y 2 ，然后根据 v = dt ，及 a ＝ dt 2 而求得结果；又有人先计算速度和加速度
求轮船的速率．
解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示．
题 1-14 图 ∵
v雨船 v雨 v船
∴ 由图中比例关系可知
v雨 v雨船 v船 v船 v雨 8 m s 1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 m1 的物体，另一边穿在质量为 m2 的圆
柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳
5j
m
s 1
∴
v
dr
3i
(t
t 3) j
4 m s1
0
4
(4)
dt
则 (5)∵
(6)
a
v
v4