函数的定义1.下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：（）y y y y o x o x o x o xA B C D自变量的取值范围1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y＝3x－1；(2)y＝2x2＋7；(3)y1；(4)y x 2 ．x 22.求下列函数中自变量 x 的取值范围：(1) y＝－ 2x－ 5x2；(3)y＝x( x＋3)；6x(4) y 2x 1 ．(3) y ；x 310．（ 2009 黑龙江大兴安岭）函数 yxx 的取值范围是．x中，自变量11．下列函数中，自变量x 的取值范围是x≥2 的是（）A ． y= 2 xB ． y= 1C ． y= 4 x2D ．y= x 2·x 2x 2求值求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x-5 ；(2)y=－3 2 ；x(3) y2(4) y2 x ．；x 122．（ 12 分）一次函数y=kx+b 的图象如图所示：（1）求出该一次函数的表达式；（2）当 x=10 时， y 的值是多少（3）当 y=12 时， ?x 的值是多少3. 一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s（米）由下式给出：s＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8 秒，试问坡长为多少作图象例 1 画出函数y＝x＋1的图象．分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解取自变量 x 的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：， ( － 3, － 2) ， ( － 2, －1) ， ( －1,0) ， (0,1) ， (1,2) ， (2,3) ， (3,4)，在直角坐标系中，描出这些有序实数对( 坐标 ) 的对应点，如图所示．通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．1 x 的图象．例 2 画出函数y2分析用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步．解列表：描点：用光滑曲线连线：1 x 的图象（先填写下表，再描点、连线）．1. 在所给的直角坐标系中画出函数y2利用图像解决实际问题问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．问图中有一个直角坐标系，它的横轴（x 轴）和纵轴（ y 轴）各表示什么问如图，线段上有一点 P，则 P 的坐标是多少表示的实际意义是什么看上面问题的图，回答下列问题：(1)小强让爷爷先上多少米(2)山顶离山脚的距离有多少米谁先爬上山顶三、实践应用例 1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式y 1x28 x 击球，球正好进洞．其中，y(m) 5 5是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离．(1)试画出高尔夫球飞行的路线；(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少球的起点与洞之间的距离是多少解 (1) 列表如下：在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．(2) 高尔夫球的最大飞行高度是m，球的起点与洞之间的距离是8 m．例 2 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．解小明先走了约 3 分钟，到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报，又向前走了 2 分钟，到达离家 450 米处返回，走了 6 分钟到家．2. 一枝蜡烛长20 厘米，点燃后每小时燃烧掉 5 厘米，则下列 3 幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t 之间的函数关系的是( )．正比例函数和待定系数法特别地，当 b＝0时，一次函数 y＝kx（常数 k≠0）出叫正比例函数正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)三、实践应用例 1 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数(1) 面积为 10cm2的三角形的底a(cm) 与这边上的高h(cm) ；(2) 长为 8(cm) 的平行四边形的周长L(cm) 与宽b(cm) ；(3)食堂原有煤 120 吨，每天要用去 5 吨，x天后还剩下煤y吨；(4) 汽车每小时行40 千米，行驶的路程s（千米）和时间t （小时）．例 2 已知函数y＝( k－2) x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k 的值．若它是一次函数，求k 的值．例 3 已知y+2与x－ 3 成正比例，当x＝ 4 时，y＝ 3．(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)y 与 x 之间是什么函数关系；(3)求 x＝时， y 的值．22.（8分）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且x=3 时 y=4； x=?1 时 y=2，求 y 与 x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．一次函数、正比例函数以及它们的关系：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数一次函数通常可以表示为y＝kx＋ b的形式，其中 k、 b 是常数， k≠0．特别地，当b＝0时，一次函数y＝ kx （常数 k≠0）出叫正比例函数( direct proportional function) ．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．正比例图象快速作图直线的平移请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y＝- x、 y＝- x＋1与 y＝- x-2；(2)y＝2x、 y＝2x＋1与 y＝2x-2．例 2 直线 y 1x 3, y 1 x5分别是由直线y1x 经过怎样的移动得到的．2 2 2例 3 说出直线 y＝3x＋2与y 1 x 2 ；y＝5x-1 与 y＝5x-4的相同之处．2五、检测反馈2.(1) 将直线 y ＝ 3 向下平移 2 个单位，得到直线；x(2) 将直线 y ＝ - x -5 向上平移 5 个单位，得到直线； (3) 将直线 y ＝ -2 x ＋ 3 向下平移 5 个单位，得到直线 ．3. 函数 y ＝ kx -4 的图象平行于直 线 y ＝ -2 x ，求函数的表达式．4. 一次函数 y ＝kx ＋ b 的图象与 y 轴交于点 (0,-2)，且与直线 y3x1平行，求它的函数表达式．21. 一次函数 y ＝kx ＋ b , 当 x ＝ 0 时， y ＝ b ；当 y ＝ 0b . 所以直线 y ＝ kx ＋ b 与 y 轴的交点坐标是 (0, b ), 与 x 轴时， xk的交点坐标是b,0 ；k3. 已知函数 y ＝2x -4.(1) 作出它的图象； (2) 标出图象与 x 轴、 y 轴的交点坐标；(3) 由图象观察，当 -2 ≤x ≤ 4 时，函数值 y 的变化范围 .4. 一次函数 y ＝3x ＋ b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求 b .图像位置与 k,b 的关系和单调性2. 在同一直角坐标系中，画出函数y2x 1和 y ＝ 3x -2 的图象 .3问 在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.一次函数 y ＝ kx ＋ b 有下列性质：(1) 当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； (2) 当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.特别地，当 b ＝ 0 时，正比例函数也有上述性质.当 b ＞0, 直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴 .下面，我们把一次函数中k 与 b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：k 、b 的符号k ＞ 0b ＞ 0k ＞ 0 b＜0k ＜ 0 b ＞ 0k ＜ 0b ＜ 0图像的大 致位置经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限性质y 随 x 的增大y 随 x 的增大y 随 x 的增大y 随 x 的增大而而而而三、实践应用例 1 已知一次函数 y ＝ (2 m -1) x ＋ m ＋5, 当 m 是什么数时，函数值 y 随 x 的增大而减小例 2 已知一次函数 y ＝ (1-2 m ) x ＋ m -1 ，若函数 y 随 x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限, 求 m 的取值范围 .例 3 已知一次函数y ＝ (3 -8) ＋ 1- 图象与 y 轴交点在x 轴下方，且y 随 x 的增大而减小，其中为整数 .m x mm(1) 求 m 的值； (2) 当 x 取何值时， 0＜ y ＜ 41．已知点 M （ 1， a ）和点 N （ 2，b ）是一次函数 y=﹣2x+1 图象上的两点，则a 与b 的大小关系是（ ）A ． a ＞bB ． a=bC ． a ＜bD ．以上都不对6．已知正比例函数 y=kx （k ＜ 0）的图象上两点 A （ x 1，y 1）、B （ x 2，y 2），且 x 1 ＜x 2，则下列不等式中恒成立的是（ A ． y 1+y 2 ＞0 B ． y 1+y 2＜ 0 C ． y 1﹣y 2＞0 D ． y 1﹣ y 2＜ 0 9. 已知直线 y=kx+b 不经过第三象限则下列结论正确的是（）A ． k ＞0, b ＞ 0;B ． k ＜ 0, b ＞ 0;C ． k ＜ 0, b ＜0;D ． k ＜ 0, b ≥ 0;10. 已知一次函数 y=kx+b,y 随着 x 的增大而减小 , 且 kb<0, 则在直角坐标系内它的大致图象是( )）(A) A ．(B)B．C ．（ C ）D ．一次函数快速作图待定系数法问题 1 已知一个一次函数当自变量x ＝ -2 时，函数值 y ＝-1, 当 x ＝3 时， y ＝ -3 ．能否写出这个一次函数的解析式呢问题度是考虑2 已知弹簧的长度 y （厘米）在一定的限度内是所挂物质量 x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是厘米, 求这个一次函数的关系式． 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6 厘米和挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度厘米 , 与一次函数关系式中的两个x 、 y 有什么关系问题 3 若一次函数y ＝ mx -( m -2) 过点 (0,3) ，求 m 的值三、实践应用例 1 已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点 (-1,1) 和点 (1 ， -5), 求当 x ＝ 5 时，函数 y 的值．例 2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．求交点坐标例 3 求直线 y ＝ 2x 和 y ＝ x ＋ 3 的交点坐标．例 4 已知两条直线y 1＝ 2x -3 和 y 2＝ 5- x ．(1) 在同一坐标系内作出它们的图象； (2) 求出它们的交点 A 坐标；(3) 求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积；(4) k 为何值时，直线 2k ＋ 1＝ 5x ＋4y 与 k ＝2x ＋ 3y 的交点在每四象限．解 (1)y 1 2x3,x8 ,解得3(2)y 25x.y7 .3所以两条直线的交点坐标A 为 8,7．3 3(3) 当 y ＝ 0 时， x ＝ 3 所以直线 y ＝ 2x -3 与 x 轴的交点坐标为3 ， 0) ，当 y ＝ 0 时， x ＝ 5，所以直线 y ＝ 5- x 与 xB(121222轴的交点坐标为 C (5,0) ．过点 A 作 AE ⊥ x 轴于点 E ，则 S ABC1BC AE1 77 49 ．22 23 122k 1 5x 4 y, (4) 两个解析式组成的方程组为k 2x 3y.x2k 3 , 解这个关于 x 、y 的方程组，得7 k 2 . y7由于交点在第四象限，所以x ＞ 0, ＜ 0．y2k 37 0,3k 2 ．即解得k 227 0.14．若解方程 x+2=3x-2 得 x=2，则当 x_________ 时直线 y=x+?2?上的点在直线 y=3x-2 上相应点的上方．15．已知一次函数 y=-x+a 与 y=x+b 的图象相交于点（ m ， 8），则 a+b=_________．1、 已知直线 m 经过两点（ 1,6 ）、（ -3 ，-2 ），它和 x 轴、 y 轴的交点式 B 、A ，直线 n 过点（ 2， -2 ），且与 y 轴交点的纵坐标是 -3 ，它和 x 轴、 y 轴的交点是 D 、C ；（ 1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （ 2） 计算四边形 ABCD 的面积；（ 3） 若直线 AB 与 DC 交于点 E ，求△ BCE 的面积。