考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等）1．(13辽宁T16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=.【测量目标】方差. 【难易程度】中等|d 【试题解析】11219110191819+291919x d x x x E x d x ξ⨯+++===+=… （步骤1） 22222222(981019)3019d D d ξ=+++++++=．（步骤2）3.(13北京T16)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )．设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A .所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++=，P (X ＝2)＝()()()()()1212131********P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513. 所以X 的分布列为：（步骤2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．4.(13江苏T6)抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【测量目标】数据平均数和方差的计算. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】由表中数据计算得90,90,x x ==甲乙且2222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45s =-+-+-+-+-=甲，2222221[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25s =-+-+-+-+-=乙.（步骤1）由于2s甲>2s 乙，故乙的成绩较为稳定，其方差为2. （步骤2）5.(13安徽T5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C. （步骤2）6.（12北京T17）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值.（注：方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,n x x x 的平均数）【测量目标】概率与方差 【难易程度】中等【试题解析】（1）由题意可知：40026003=(步骤1)（2）由题意可知：20060403100010++=（步骤2）（3）由题意可知：22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．（步骤3） 7.（12江西T9）样本(1x ，2x ，…，)n x 的平均数为x ，样本(1y ，2y ，…，)m y 的平均数为()y x y ≠，若样本(1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，)m y 的平均数()1z ax a y =+-，其中102a <<，则,n m 的大小关系为 ( ) A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】由统计学知识，可得12x x ++…n x nx +=，12y y ++…m y my +=，12x x ++…n x ++12y y ++…()()()1m y m n z m n ax a y ⎡⎤+=+=++-⎣⎦()()()1m n ax m n a y =+++-，()()()1nx my m n ax m n a y ∴+=+++-.（步骤1）()()(),1.n m n a m m n a =+⎧⎪∴⎨=+-⎪⎩故()()()()121n m m n a a m n a -=+--=+-⎡⎤⎣⎦. （步骤2）10,2102a a <<∴-<.0n m ∴-<.即n m <.（步骤3）8.（11辽宁T19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),C 70C C 8(1),C 35C C 18(2),C 35C C 8(3),C 3511(4).C 70P X P X P X P X P X =============== 即X 的分布列为（步骤1）X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （步骤2） （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲（步骤3）品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙（步骤4）由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 9.(11江苏T6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2s【测量目标】平均值及方差的公式和计算. 【难易程度】容易 【参考答案】165【试题解析】可以先把这组数都减去6再求方差，再利用公式可得出答案为165. 10.（10陕西T19）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：ZJJ53 ZJJ54（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm 之间的概率.【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人.（步骤1）（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm 之间的概率P =0.5（步骤2） （Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm 之间的人数为10，身高在170~180cm 之间的人数为4，设A 表示事件“从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm 之间”，则26210C 2()1C 3P A =-=（或112644210C C C 2()C 3P A ++==）（步骤3） 11.（10山东T6)样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A.56B.56 C.2D.2【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知1(0123)1,5a ++++=解得1,a =-所以样本方差为2222221[(11)(01)(11)(21)(31)]2,5S =--+-+-+-+-=故选D.12. (10宁夏T19)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (III)根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由. 附：)kk()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【测量目标】分层抽样，用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=(步骤1) （Ⅱ）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯.(步骤2) 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．(步骤3)13.(09江苏T6)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：实用标准文案 精彩文档 甲班6 7 7 8 7 乙班 6 76 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = . 【测量目标】平均数，方差.【难易程度】中等【参考答案】25【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+== 14.(09上海T17)有专业机构认为甲型H 1 N 1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ）A ．甲地：总体均值为6，中位数为8B ．乙地：总体均值为5，总体方差为12C ．丙地：中位数为5，众数为6D ．丁地：总体均值为3，总体方差大于0【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x 1，x 2，x 3，…，x 10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s 2=110 [（16-5）2+（x 2-5）2+（x 3-5）2+…+（x 10-5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选B ．。