二次函数与一元二次方程1三维目标一、知识与技能1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.2.能结合二次函数的图象与x 轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数.3.了解函数的零点与对应方程根的联系.二、过程与方法1.通过了解函数的零点与方程根的联系，渗透算法思想，为后面系统学习算法作准备.2.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.3.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及分析问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过学习二次函数图象与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的系统性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识.教学重点根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数，函数零点的概念.教学难点函数零点的概念.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体动画演示）从某幢建筑物10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙垂直，如下图），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面340米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是多少米?如下图建立直角坐标系，则A 点坐标为（0，10），M 点坐标为（1，340）.由于M 为最高点，所以可设抛物线为y =a （x －1）2+340，将点A （0，10）代入，得10=a ×1+340，a =－310，即抛物线方程为y =－310（x －1）2+340.水流落地时B 点纵坐标y =0，代入上式，解得x =3，即水流落地点B 离墙的距离OB 是3米.上述解法中，落地点B 就是抛物线与x 轴的交点，点B 的横坐标就是二次方程－310（x －1）2+340=0的一个根.师：一般情况下，函数y =f （x ）与x 轴的交点和方程f （x ）=0的根之间存在着怎样的关系呢? 由此引入新课.二、讲解新课1.探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系师：你能快速地求出一元二次方程x 2－2x －3=0的根吗？生：由方程可得（x －3）（x +1）=0，所以方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根，分别为3和－1. 师：请画出二次函数y =x 2－2x －3的图象.（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）方法引导：画二次函数简图的步骤：（1）先根据二次项系数确定函数的开口方向，即当a ＞0时，函数开口向上；当a ＜0时，函数开口向下.（2）再根据x 0=－ab 2画出函数的对称轴. （3）确定函数图象与两坐标轴的交点，成图.师：请观察你所画的函数图象，研究图上的一些特殊点以及二次方程x 2－2x －3=0的根，你有什么发现吗？（组织学生交流，得出如下结论）（1）一元二次方程x 2－2x －3=0的两个实数根就是二次函数y =x 2－2x －3的图象和x 轴交点的横坐标；（2）一元二次方程x 2－2x －3=0的两个实数根即为二次函数y =x 2－2x －3的函数值等于0时的自变量x 的值.师：研究一元二次方程x 2－2x －3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x 2－2x －3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？（生交流，师及时总结，得出如下结论）结论：（1）一元二次方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞0；（2）二次函数y =x 2－2x －3的开口向上，顶点在x 轴下方.（3）方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根⇔判别式Δ＞0⇔对应的二次函数y =x 2－2x －3的图象开口向上且顶点在x 轴下方.师：你能将这个结论进行推广吗？（生思考，师投影显示如下问题）合作探究：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的根的个数及其判别式与二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的开口方向和顶点位置之间有什么联系？（师生共同结合函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的不同情形，得出如下结论）知识拓展：设二次方程为ax 2+bx +c =0（a ≠0），相应的二次函数为y =ax 2+bx +c （a ≠0），其判别式Δ=b 2－4ac ，我们有：（1）当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x 1、x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根x 1=x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点（x 1，0）；（3）当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点.也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x 轴的位置问题.也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置. 思考：当二次函数y =ax 2+bx +c （a ＜0）时，是否也有同样的结论呢？2.函数的零点二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形.为此，先给出函数零点的概念：对于函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点.有时我们也把一个函数的图象与x 轴的公共点，叫做这个函数的零点.当两个零点重合时，我们称这个零点为二重零点.函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的实数根，也就是函数y =f （x ）的图象与x 轴的交点的横坐标.所以方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点.由此可知，求方程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.【例1】 求证：一元二次方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根.师：根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？（生交流得出如下结论）证法一：因为一元二次方程2x 2+3x －7=0的判别式Δ=32－4×2×（－7）=65＞0，所以方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根.证法二：设f （x ）=2x 2+3x －7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f （－43）=2（－43）2+3×（－43）－7=－7＜0. 所以，函数f （x ）=2x 2+3x －7的图象与x 轴有两个不同的交点，即方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根.【例2】 求下列函数的零点.（1）y =－x 2－x +20；（2）y =（x 2－2）（x 2－3x +2）.方法引导：函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题，反之也成立.这是函数与方程的统一.解：（1）令y =0，即－x 2－x +20=0，解得x 1=－5，x 2=4.∴所求函数的零点为－5，4.（2）令y =0，即（x 2－2）（x 2－3x +2）=0.解得x 1=2，x 2=－2，x 3=1，x 4=2，∴所求函数的零点为2，－2，1，2.【例3】 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如下图所示，则A.b ∈（－∞，0）B.b ∈（0，1）C.b ∈（1，2）D.b ∈（2，+∞）方法引导：f （0）=f （1）=f （2）=0；x =0，1，2是函数y =f （x ）的三个零点.由图象获取信息是解决函数问题常见的手法，是数形结合思想的一个体现.解法一：∵f （0）=f （1）=f （2）=0，∴d =0，a +b +c =0，4a +2b +c =0，∴a =－3b ，c =－32b . ∴f （x ）=－3b x （x 2－3x +2）=－3b x （x －1）（x －2）. 当x ＜0时，f （x ）＜0，∴b ＜0.故选A.解法二：由图象知x =0，1，2是函数y =f （x ）的三个零点.∴f （x ）=ax （x －1）（x －2），当x ＞2时，f （x ）＞0.∴a ＞0，比较同次项系数，得b =－3a .∴b ＜0.故选A.三、课堂练习1.若f （x ）=x x 1-，则方程f （4x ）=x 的根是 A.－2 B.2 C.－21 D. 21 答案：D （点拨：∵f （4x ）=x x 414-，∴由x x 414-=x ，解得x =21） 2.函数y =|log 2|x ||－1的零点有 A.1个 B.2个C.3个D.4个 答案：D （点拨：画出图象，观察即可）3.定义在R 上的奇函数f （x ）有三个零点x 1、x 2、x 3，则下面关系中正确的是A.x 1x 2x 3＞0B.x 1x 2x 3=0C.x 1x 2x 3＜0D.以上三种关系都可能成立 答案：B （点拨：∵f （0）=0，∴x 1，x 2，x 3中必有一个为0） 4.若函数y =2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________.答案：0＜m ≤1（点拨：利用函数y =2－|x －1|=（21）|x －1|的图象可知，0＜y ≤1， ∴函数y =2－|x －1|－m 的图象若与x 轴有交点，必须0＜m ≤1）5.已知函数f （x ）=ax +2a +1，当x ∈［－1，1］时，f （x ）的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________. 答案：－1＜a ＜－31（点拨：原问题⇔f （－1）f （1）＜0） 6.二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 是偶函数，它有两个零点x 1，x 2，则x 1+x 2=________.答案：0（点拨：偶函数图象关于y 轴对称）四、课堂小结1.本节学习的数学知识：一元二次方程的解与相应二次函数图象与x 轴的关系、函数零点的概念、函数零点与方程的根的关系.2.本节学习的数学方法：归纳与化归的思想、数形结合与定义法、特殊与一般的意识.五、布置作业1.若奇函数f（x）=x3+bx2+cx的三个零点x1，x2，x3满足x1x2+x2x3+x3x1=－2，则b+c=________.2.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，f（2）=0，f（－5）=0，f（0）=1，则此二次函数为________.3.二次函数y=x2+kx－（k－8）与x轴至多有一个交点，求k的取值范围.4.求下列函数的零点：（1）f（x）=2x+7；（2）f（x）=2x2－5x+1；（3）f（x）=（x－1）（x－2）（x+3）.5.下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零、小于零或等于零：（1）y=x2+7x－8；（2）y=－x2+2x+8.板书设计3.1.1方程的根与函数的零点（1）二次函数图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系函数的零点方程的根与函数零点的关系例1例2例3课堂练习课堂小结。