13.1平方根
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、平方根的定义及表示方法、性质、求法；
2、算术平方根的定义及表示方法、性质，掌握其双重非负性；
3、平方根和算术平方根的区别和联系；
【重点难点】
1、平方根的定义、性质及求法；
2、算术平方根定义及表示方法、性质，掌握其双重非负性；
3、平方根和算术平方根的区别和联系；
知识概览图
新课导引平方根
算术平方根定义：若x2＝a，则x叫做a的平方根
表示：正数a的平方根可表示为a
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
求法：开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方
性质
双重非负性：a≥0，a≥0
正数a的算术平方根是a
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0 表示：a
包含
如右图所示的是小明家新购的一套住房，客厅是长与宽之比为5∶2的长方形，面积为40 m2，求这间客厅的长与宽各为多少．
【问题探究】要求客厅的长与宽，依题意可设客厅的长与宽分别为5x m，2x m，可得2x·5x＝40，即x2＝4，实际上是解x2＝4，那么如何利用x2＝4求x呢?
【解析】由于22＝4，(－2)2＝4，故x＝±2，负值舍去．所以客厅的长为5×2＝10(m)，宽为2×2＝4(m)．
教材精华
知识点１平方根
平方根的概念．
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．例如：若x2＝a，则x叫做a的平方根(或二次方根)．
平方根的表示．
±，读作“正负根号a”，其中“2”是根指数，当根指数是2正数a的平方根可表示为2a
±．
时可省略不写，“”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为2平方根的性质．
-”，它们互为相反数；
(1)一个正数a有两个平方根，其中一个是“a，另一个为“a
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根．
拓展一个正数有两个平方根，它们互为相反数，也可以理解为一个正数的两个平方根的和为0．
知识点2算术平方根
算术平方根的概念．
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是0．
算术平方根的表示方法．
非负数a的算术平方根表示为a，读作“根号a”．例如：42＝16，16的算术平方根是
4，表示为16＝4．
算术平方根的性质．
(1)正数a的算术平方根为a；
(2)0的算术平方根是0，即0＝0；
(3)负数没有算术平方根．
算术平方根a具有双重非负性．
(1)被开方数a是非负数，即a≥0；
(2)算术平方根a本身是非负数，即a≥0．
知识点3开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．例如：因为(±5)2＝25，所以±25＝±5．由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也经常用平方运算来检验所求得的平方根是否正确．
拓展若一个数的平方根是它本身，则这个数是0．若一个数的算术平方根是它本身．则这个数是0或1．
知识点4平方根与算术平方根的区别与联系
区别．
(1)定义不同；
(2)个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；
(3)表示方法不同，正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a；
(4)取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正一负．
联系．
(1)具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那一个；
(2)存在条件相同，平方根和算术平方根都是只有非负数才有的；
(3)0的平方根与算术平方根都是0．
知识点5 用计算器求正数的平方根及算术平方根的估算
在求某些数的算术平方根时，当有些数据比较大或不易求出时，便可以利用计算器求算术平方根，用计算器上的“”键．一般先按“”键，然后再输入数据，再按“＝”键即可．在没有计算器或不允许用计算器的情况下，可进行估算，我们通常取与被开方数相近的两个完全平方数的算术平方根相比较．
例如，估算10的大小，可以取和10最接近的两个完全平方数9和16．因为9＜10＜16，所以3＜10＜4，这种估算的方法叫做夹逼法．
课堂检测
基本概念题
1、求下列各数的算术平方根和平方根．
(1)25111
； (2)0.0001； (3)10－6； (4) 2)4(-； (5)0．
基础知识应用题
2、下列各式中，无意义的是 ( )
A ．
2
1 B ．2)2(- C ．2- D ．2-
3、用100块地砖来铺设面积为36平方米的客厅，求所需要的正方形地砖的边长． 综合应用题
4、已知
4
1(2x ＋3)2＝1．求x 的值．
5、已知11-++b a ＝0，求a 100＋b 101的值．
探索创新题
6、已知a ，b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则a ＋b ＝ ．
7、已知m ＞5，则2)5(m -＝ ．
体验中考
1、估算31－2的值 ( )
A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间
2、若a ，b 实数，且满足2
2b a -+-＝0，则b －a 的值为 ( )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不对
3、若a ＜1，化简1)1(2--a 等于 ( )
A ．a －2
B ．2－a
C ．a
D ．－a
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 本题考查的是算术平方根和平方根的概念，可根据开方和乘方是互逆的运算来解决此题．
解：(1)因为256253625111⎪⎭
⎫ ⎝⎛±==， 所以25111的算术平方根是56，平方根是5
6±． (2)因为(±0．01)2＝0．0001，
所以0．0001的算术平方根是0．01，平方根是±0．01．
(3)因为10－6＝6101，62
3101101=⎪⎭⎫ ⎝⎛±， 所以10－6的算术平方根是
3101，即10－3，平方根是±10－3． (4)因为16)4(2=-＝4＝(±2)2，
所以2)4(-的算术平方根是2，平方根是±2．
(5)因为02＝0，所以0的算术平方根是0，平方根也是0．
【解题策略】 求一个非负数的平方根与算术平方根需要借助平方运算，所以熟记一些简单的平方数对求一个非负数的算术平方根十分有益．
2、分析 被开方数必须为非负数，这时它的平方根或算术平方根才有意义，而2-
的被开方数为－2，故2-
无意义．故选C ． 【解题策略】
a 具有双重非负性，即a ≥0，同时a ≥0．
3、分析 本题可由正方形的面积公式及开平方的知识来解决．
解：设所需要的正方形地砖的边长为x 米．
由题意得100x 2＝36，
所以x 2＝0.36，
所以x ＝0.6或x ＝－0.6(舍去)．
故所需要的正方形地砖的边长为0.6米．
【解题策略】 实际问题中的未知数的值要有意义．
4、分析 把2x ＋3看做一个整体，运用开平方和方程的知识进行求解．
解：因为
4
1(2x ＋3)2＝1，所以(2x ＋3)2＝4，所以2x ＋3＝±2． 所以2x ＋3＝2或2x ＋3＝－2，所以x ＝21-或x ＝25-． 【解题策略】 解此类题的关键是把2次幂的底数部分看做一个整体，化简成(ax ＋b )2＝c (c ≥0)的形式，再利用开平方求出x 的值，通常x 的值有两个，当c ＝0时，有一个解．
5、分析 本题考查平方根的性质与乘方运算．1+a 是非负数，1-b 也是非负数，而它们的和为0．所以1+a ＝0，1-b ＝0，即a ＋1＝0，b －1＝0，从而可求出a ，b 的值，再求a 100＋b 101的值．
解：因为11-++b a ＝0，且1+a ≥0，1-b ≥0，
所以1+a ＝0，1-b ＝0．所以a ＋1＝0，b －1＝0，即a ＝－1，b ＝1．
所以a 100＋b 101＝(－1)100＋1101＝1＋1＝2．
【解题策略】 若几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0．
6、分析 由于4＜7＜9．故4＜7＜9，所以2＜7＜3，所以整数a ＝2，b ＝3，从而a ＋b ＝5．故填5．
7、分析 本题主要考查算术平方根的性质．2)5(m -表示(5－m )2的算术平方根，由于m ＞5，所以5－m ＜0．而(5－m )2＞0，故2)5(m -＝2
)5(-m ＝m －5．故填m －5．
规律·方法 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即2)(a ＝a (a ≥0)，另外a a =2．
体验中考
1、分析 由于25＜31＜36．所以3＜31－2＜4．故选C ．
2、分析 本题考查绝对值和算术平方根的意义和非负数的性质，由2
2b a -+-＝0，得a －2＝0，－b 2＝0，∴a ＝2，b ＝0，b －a ＝－2．故选C ． 3、分析
由a ＜1可知1)1(2-=-a a ＝1－a ，所以1)1(2--a ＝1－a －1＝－a ．故选D ．。