1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。

2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。

于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。

解法二：构造向量=+=+=，又因为BC AE ,对应边的中线，则交点O 是ABC ∆的重心，a BC AE AO ===32，所以BC 边上的高a AO h =≤，2212max ==a S ，所以2=a 。

解法三：共线定理=+=，因为AC AB AM 3231+=，易得M 位于靠近C 的三等分点处，（如图），a ==，所以BC 边上的高a AM h =≤，2212max ==a S ，所以2=a。

4.已知点P 是抛物线y x 42=上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1-0，，则PAPF的最小值为.解法一：函数思想设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x P ，如下图，根据抛物线定义1420+==x PH PF ，2202014⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x PA ，11411114114141414200220222020220220202+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=x x x x x x x x x x PAPF因为11400≥+x x ，所以22≥PA PF。

解法二：三角函数如图，作抛物线的准线且过点A ，过点P 作准线的垂线，垂足为H ，设θ=∠PAH ，θsin ==PAPHPA PF ，所以只要研究θ最小，点P 在抛物线上运动时，当AP 与抛物线在第一象限相切时。

设直线AP 方程：()01>-=k kx y 与抛物线y x 42=联立方程组得：0442=+-kx x ，当016162=-=∆k ，得1=k 。

此时︒=45θ，此时22sin ==θPAPF 5.一道很简单的小题目如图，在体积为V 的圆柱21O O 上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为21,V V ，则VV V 21+的值是.解法一：一般法设圆柱的底面积为S ,高为h ，上下圆锥高分别为21h h ，，且h h h =+21，()31312121=+=+Shh h S V VV 解法二：特殊值法考虑结果是定值，与O 点位置，高无关，于是设圆柱的底面积为S ,高为2，取O 点为中点位置，于是两个圆锥的高分别为1，()312113121=⋅+=+S S V V V 解法三：极限法考虑结果是定值，与O 点位置无关，将O 取极限位置到1O ，此时01=V .变为等底等高的圆锥与圆柱的体积比，即为31。

6.【2019年全国I 卷12题】已知椭圆C 的焦点为()()0,1,0,121F F -,过2F 的直线与C 交于B A ,两点.若B F AF 222=,11BF AB =，则C 的方程为（）A.1222=+y x B.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 解法一：同角列式（以A ∠,B ∠皆可，因为这两个角没有被分掉，下面以A ∠为例）在21AF F ∆中，由余弦定理得：()()222222128422cos x x x x x A -=-+=，在AB F 1∆中，由余弦定理得：()()()3112332cos 2222=-+=x x x x A ，【此处求A cos ，可根据等腰三角形1BAF ，过B 作对边的高，垂足为H ，由三角函数可以直接得出31cos ==AB AH A 】由两式相等得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。

所以12322=+y x ，选B 。

解法二：分角列式（A BF 1∠被21F F 一分为二，且总角与两分角皆可表示）AM 是AB F 1∠在的角平分线，由角平分线定理，3:2::1==AB AF MB AM ,所以563521x x M F =⋅=，OM F Rt 1∆中，xx x x 6253636251sin ,65cos 22-=-==αα在21F AF ∆中，OA F Rt 1∆中，xx x x x x 214414411sin ,21cos 2222-=-=-==ββ()222212142536125cos x x x x -⋅--=+βα等腰三角形B AF 1∆中，过B 作对边的垂线，垂足为H ，易得31cos 1=∠A BF ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。

所以12322=+y x ，选B 。

解法三：互补角列式设β=∠12F BF ,在12F BF ∆中，由余弦定理得：xx x x x 22221494cos -=-+=β，在12F AF ∆中，由余弦定理得：()x x x x 218444-cos 22=-+=βπ，因为()0cos cos =-+βπβ，所以021212=+-xx x ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。

所以12322=+y x ，选B 。

解法四：向量法1因为2F 是AB 的三等分点，所以B F A F F F 11213231+=,两边平方得：B AF B F 12194∠++=，等腰三角形B AF 1∆中，过B 作对边的垂线，垂足为H ，易得31cos 1=∠A BF ，31384944222⋅++=x x x ，得23=x ，因为3242==x a ，得3=a 。

所以12322=+y x ，选B 。

解法五：向量法2因为2F 是AB 的三等分点，所以AB AF 322=，得⎪⎭⎫⎝⎛2b 23，B ，代入椭圆方程，1449222=+b b a ，得3=a ，所以12322=+y x ，选B 。

解法六：相似比过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ，22BMF AOF ∆≈∆,1:2:22=B F AF ，所以2,212b BM M F ==,得⎪⎭⎫⎝⎛2b 23，B ，下同解法五。

7.已知动点P 在圆()16422=++y x C ：上，()()0402-，，，B A ，那么=PBPA.解法一：轨迹法设()y x P ,且()0>=λλ，PB PA ，可得动点P 轨迹方程：01416148222222=--+-+-+λλλλx y x ，又因为动点P 在圆()16422=++y x C ：上，即：0822=++x y x ，对照一次项与常数项可得0141622=--λλ，即21=λ。

解法二：函数法设()y x P ,，且满足()16422=++y x ，有x x y 822--=，那么()()()()21441-84824222222222=+-+=-----+=+-++=x x xx x x x x y x y x PBPA。

解法三：参数方程法设()θθsin 4,4cos 4-P ，那么()()()()21cos 6480cos 16-20sin 444cos 4sin 424cos 42222=-=+--++-=θθθθθθPBPA 。

解法四：特殊值法考虑结果是定值，与P 点坐标无关，取圆上特殊点()00，P ，4,2==PB PA ,21=PB PA .8.已知R ∈α，210cos 2sin =+αα，则=α2tan .解法一：定义法由三角函数定义知r y =αsin ，r x =αcos ,其中222y x r +=，则2102=+rx r y 。

两边平方得：()()222252y x x y +=+，化简得xy y x 3822-=-，于是432x y 1x y2tan 1tan 22tan 2222-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=y x xy ααα。

解法二：弦化切法因为210cos 2sin =+αα，所以25cos 4cos sin 4sin 22=++αααα，化简得23cos 3cos sin 42=+ααα则23cos sin cos 3cos sin 4222=++ααααα，弦化切得231tan 3tan 42=++αα，得3tan =α或31-，不论哪种情况，都有432tan -=α解法三：构造法由解法二得，231tan 3tan 42=++αα，得到3tan 3tan 82-=αα，仿照正切二倍角公式，构造如下()()αα2tan -13-tan 24=⋅，所以()43-tan -1tan 22=αα，即432tan -=α。