所以，F(u)一般是复数，并可以写成
e
ix
cos x i sin x
有：
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一维离散傅里叶变换
变换表达
F (u) R(u) jI (u) F (u) exp j (u)
频谱（幅度）
F (u) R2 (u) I 2 (u)

1 2
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
N 1
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
1N a(u ) 2 N
当 u0 当 u 1, 2, , N 1
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2-D离散余弦变换（DCT)
10Байду номын сангаас
图像傅里叶变换的意义
（1）简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化
为频率域中简单的乘积运算。 （2）简化处理和分析,
空间域中较复杂的问题，空间域表示的图像←→频率域 （3）某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如在频率域进行图 像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。
典型的应用有：去除图像噪声、图像数据压缩、图像识 别、图像重构和图像描述等。
z ( x) f ( x) * g ( x) f (m) g ( x m)
m 0 N 1
N A C 1
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一个周期

求得结果将不是需要的z(x)，而是周期循环的
N 1
z e ( x) f e ( x) * g e ( x) f e (m) g e ( x m)
1 F (u, v) N

x 0 y 0
N 1 N 1
j 2 ( xu yv) f ( x, y) exp[ ] N
1 f ( x, y) N
j 2 (ux vy) ] F (u, v) exp[ N u 0 v 0
N 1 N 1
其中， x,y,u,v=0,1,…,N-1；
2.3 离散余弦变换
余弦变换是傅里叶变换的一种特殊情况。 在傅里叶级数展开式中，如果被展开的函数是 实偶函数，那么，其傅里叶级数中只包含余弦 项，再将其离散化由此可导出余弦变换，或称 之为离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）。
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2.3 离散余弦变换
(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( M N )] MN u 0 v0
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)
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二维离散傅里叶变换
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
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2.2 傅里叶变换的性质


分离性
平移性质 周期性和共扼对称性 旋转性质 分配律


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尺度变换（缩放）
平均值 卷积定理
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2.2 傅里叶变换的性质
分离性
一个2-D傅里叶变换可由连续两次运用1-D傅 里叶变换来实现
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2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
指出傅立叶变换一个主要好处：与其在一个域中作不 直观的和难懂的卷积，不如在另外一个域中作乘法， 可以达到相同的效果
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避免卷积后产生交叠误差
利用一维函数来说明函数定义域的扩展，设 f(x)(x=0,1…. A-1)和g(x)(x=0,1,….C-1)是两个有 限的离散函数，也就是说f(x)定义域为0≤x≤A-1， g(x)的定义域为0≤x≤C-1。则其线性卷积为
分离性
沿y轴方向进行一维的(列)变换而求得：
再对F(x,v)沿x方向进行一维的(行)变换而得到
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2.2 傅里叶变换的性质
分离性
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2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
给函数乘以一个指数项，就相当于把其变 换后的傅里叶频谱在频率域进行平移
给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于把其 反变换后得到的函数在空间域进行平移
0 A M/2 C
N/2
B D
(M/2,N/2)
N
v
(M/2,N)
M
(M,N/2) (M,N)
u
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图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
同理，对于v=0： 当u=0时： F (0,0) | F (M , N ) |
当u=1时： F (1,0) | F (M 1, N ) |
第2章
图像变换技术
2.1 傅里叶变换 2.2 傅里叶变换的性质 2.3 离散余弦变换 2.4 盖伯变换 2.5 小波变换基础 2.6 离散小波变换
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2.1 傅里叶变换
一维离散傅里叶变换
设f(x)是在时域上等距离采样得到的N点离散序列， x是离散实变量
f (x ) 75 50 10 15 0
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2.2 傅里叶变换的性质
平移性质
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2.2 傅里叶变换的性质
周期性
F ( u, v ) F ( u k1 M , v k 2 N ) u 0,1,2,, M 1 v 0,1,2,, N 1
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2.2 傅里叶变换的性质
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85 90
25 x
1 2 3 4 5 6 7
2
一维离散傅里叶变换
u为离散频率变量，则离散傅里叶变换对定义为：
其中，F(u)为正变换，f(x)=F-1{F(u)}为反变换；
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一维离散傅里叶变换
根据欧拉公式
exp( j 2xu) cos 2ux j sin 2ux
M A C 1, N B D 1
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二维傅立叶变换(幅值及相位)意义
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左边一列:
图像的说明
上方为原始图像,下方为本图的相关说 明说明;

中间一列:
上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立 叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);

右边一列:
上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶 逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换（DCT）
(2 x 1)u C (u ) a (u ) f ( x ) cos 2N x 0
f ( x) (2 x 1)u a(u )C (u ) cos 2N u 0
N 1
(M,N/2) (M,N)
u
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图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
图1和图2是原点坐标位于(0,0)的图像的傅里叶 变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
(a) 图像
(b)图像的原频谱图
图1 / 图1 关于(M/2,N/2)对称示例1 / 示例2
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m 0
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避免卷积后产生交叠误差

为了避免循环卷积，可以对原被卷积函数补零。 由于卷积结果的长度为N=A+C-1，因此，可以 把两个被卷积的函数的长度扩展到N，并在原函 数定义区间外的部分补零
f ( x) f e ( x) 0 g ( x) g e ( x) 0 0 x A 1 A x N 1 0 x C 1 C x N 1
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二维离散傅里叶变换
与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换 的频谱和相位角定义为：
| F (u , v) |
R 2 (u , v ) I 2 (u , v)
(u, v) arctan[ (u, v) / R(u, v)] I
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二维离散傅里叶变换
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2.2 傅里叶变换的性质
尺度变换（缩放）
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2.2 傅里叶变换的性质
平均值
如果将u=v=0代入式
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2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
2个1-D函数的卷积
卷积定理
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2.2 傅里叶变换的性质
卷积定理
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| F (u, v) || F (u,v) |
就可得：
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| F (u, v) | F (M u, N v)
(1)
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图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
根据(1)，对于u=0：
当v=0时： F (0,0) | F (M , N ) | 当v=1时： F (0,1) | F (M , N 1) | 当v=2时： F (0,2) | F (M , N 2) | ┆ ┆ 当v=N/2时：F (0, N / 2) F (M , N / 2)
将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为f(x,y)的 功率谱，记为：
P(u, v) | F (u, v) | R (u, v) I (u, v)
2 2 2
反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。