实现预定轨迹的平面四连杆机构的
数学建模及其优化设计
一．问题描述
设计一平面四连杆机构，如图1所示。
要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹
x y 2=，52<<x ，因传递力的需要，最小转动角γ大于50度。
图1
二．建立优化数学模型 1．确定设计变量
根据设计要求，由机械原理知识可知，设计变量有L1、L2、L3、L4、ϕ。
将曲柄的长度取为一个单位长度1，其余三杆长可表示为L1的倍数。
由图1所示的几何关系可知
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=432
4
232212)(arccos L L L L L L ϕ
ϕ为杆长的函数。
另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架L4
的长度，取L4=5，经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以，该优化问题的设计变量为
[][]T
T
L L X X X 3221,,==
因此。
本优化设计为一个二维优化问题。
2.建立目标函数
按轨迹的优化设计，可以将连杆上M 点()mi mi y x ,与预期轨迹点坐标偏差最小
为寻优目标，其偏差为i Mi i x x x -=∆和i Mi i y y y -=∆()n x i ,,2,1⋅⋅⋅=，如图2。
为此，把摇杆运动区间2到5分成S 等分，M 点坐标有相应分点与之对应。
将各分点标号记作i ，根据均方根差可建立其目标函数，即
()()()
[
]
min 2
/122
→-+-=∑i Mi i Mi y y x x X f
ϕsin 3L y Mi =
ϕcos 33⋅+=L x Mi
i i x
y ⋅=2
)1(3
1-+=i s
x i ，S 为运动区间的分段数
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=432
4
232212)(arccos L L L L L L ϕ
于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式，对应于每一个机构设计方案（即给定21,X X ），即可计算出均方根差()X f 。
图 2
3.确定约束条件
根据设计条件，该机构的约束条件有两个方面：一是传递运动过程中的最小传动角γ应大于50度；二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。
以此为基础建立优化线束条件。
①保证传动角 50>γ
图 3
按传动条件，根据图3可能发生传动角最小值的位置图，由余弦定理 6428.050cos =
6428.0arccos 2)(arccos 3
22
3
22241≥⋅⋅--+=L L L L L L γ
所以
322
3222412496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （a ）
6428.0arccos 2)(arccos 3
22
1
42322≥⋅⋅--+=L L L L L L γ
所以
322
1423222496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （b ）
式（a ）、（b ）为两个约束条件，将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入式（a ）、（b ），得
()0362496.12122211≤+⋅---=x x x x x g ()0162496.12122212≤-⋅-+=x x x x x g
②曲柄存在的条件
按曲柄存在条件，由机械原理知识可知
12L L ≥，13L L ≥，3241L L L L +≤+
4321L L L L +≤+，4231L L L L +≤+
把它们写成不等式约束条件（将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入上式），得
()0113≤-=x x g
()0124≤-=x x g ()06215≤--=x x x g ()04216≤--=x x x g ()04127≤--=x x x g
经过分析，上述七个约束条件式中，()X g 1和()X g 2为紧约束条件，()()X g X g 73~为松约束条件，即满足()01≤X g 和()02≤X g 的X ，必满足不等式
()()0~073≤≤X g X g ，所以本优化问题实际起作用的只有()X g 1和()X g 2两个不
等式约束条件。
4.写出优化数学模型
综上所述，可得本优化问题的数学模型为
()()()
[
]
∑=-+-=s
i i Mi i Mi y y x x X f 02
/122
min
[][]T
T L L X X X 3221,,==
t s . ()0362496.1212
2
211≤+⋅---=x x x x x g ()0162496.1212
2
212≤-⋅-+=x x x x x g 即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。
三．选择优化方法及优化结果
选取Matlab 2011a 版优化工具箱进行本优化问题优化。
取初始点
()[]T
X 2,30=，优化结果为
[][]T
T
x x X 69.2,10.5,2
1==*
**，
即L2=5.10（长度单位），L3=2.69（长度单位）；
()
2.41==**X f f。