赵爽是我国三国时期吴国著名的数学家，他曾为《周髀算经》作注，其中有一篇《勾股圆方图注》，总结了我国东汉以来勾股算术的重要成果，在世界上最早给出并证明了有关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系的二十多个命题．赵爽在《勾股圆方图注》中推导出了二次方程的求根公式．
10．二元一次方程组
二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代入法和加减法是常见的消元方法．
解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．
方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．
问题解决
例1 已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩
，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是12
13x y =⎧⎨=-⎩，则
222a b c ++的值为________．
（“华罗庚金杯”香港中学邀请赛试题）
例2 关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩
有无数组解，则a 、b 的值为（ ）
A ．0a =，0b =
B ．2a =-，1b =
C ．2a =，1b =-
D ．2a =，1b =
（第19届“希望杯”邀请赛试题）
例3 解下列方程组：
（1）231763172357x y x y +=⎧⎨
+=⎩ （2）1
211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪
⎨⎪-=⎪--⎩
（3）⎩⎨
⎧=++++=+=+==+=+=+1999
...1
...1999199821199919981997433221x x x x x x x x x x x x x x 1998
（第7届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
例4 已知m 是整数，方程组436
626
x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值．
例5 阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y ）+y=5③ 把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=-1 把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x ，y 满足方程组．
（i ）求x 2+4y 2的值；（ii ）求+的值．
（广东珠海中考题）
叠加、叠乘
叠加、叠乘是指解系数有特点的方程组时，不拘泥于一般意义上的代入或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加（或相减）或相乘，从而达到简化方程组的目的．
例6 将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少？
（世界数学团体锦标赛试题）
数学冲浪
知识技能广场
1．已知24
328a b a b +=⎧⎨+=⎩
，则a b +=_______．
（山东德州中考题）
2．已知关于x,y 的二元一次方程组的解互为相反数，则k 的值为________．
（四川南充中考题）
3．如果()2
230x x y -+-+=，那么()2
x y +的值为________．
（湖北荆州中考题）
4．已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113
325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩
的解是______．
（山东枣庄中考题）
5．解方程组274ax y cx dy +=⎧⎨-=⎩时，一学生把a 看错后得到51x y =⎧⎨=⎩
，而正确的解是3
1x y =⎧⎨=-⎩，则a 、c 、d 的值为（ ）
A ．不能确定
B ．3a =，1c =，1d =
C ．c 、d 不能确定，3a =
D ．3a =，2c =，2d =-
（福建福州中考题）
6．已知a ，b 满足方程组⎩
⎨⎧=-=+4312
5b a b a ，则a+b 的值为（ ）
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
（广东广州中考题）
7．若关于x 、y 的方程组39
21
ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）
A ．6-
B ．6
C ．9
D ．30
8．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k
x y k +=⎧⎨-=⎩
的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ）
A ．34-
B ．34
C ．43
D ．4
3
-
（山东中考题）
9．根据要求，解答下列问题
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可） ①
的解为______ ②
的解为______ ③
的解为______
（2）以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为______． （3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
（山东滨州中考题）
10．三个学生对问题“若方程组的解是，求方程组的解.”
提出各自的想法．
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论， 谈谈你的看法（若不能求解，请说明理由；若能够求解，请写出求解过程）
思维方法天地
11．m 为正整数，已知二元一次方程组210
320
mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m =______．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．若对任意有理数a 、b ，关于x ，y 的二元一次方程()()a b x a b y a b --+=+有一组公共解，则公共解为________． 13．若
1235x y z ++=，3217x y z ++=，则111
x y z
++=________． （广州茂名中考题）
14．已知532=++z y x ，10234=++z y x ，则z y x ++的值为 ．
（“五羊杯”竞赛题）
15．若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，则222
222
522310x y z x y z +---的值等于（ ）
A ．12-
B ．19
2
- C ．15- D ．13-
（全国初中数学竞赛题）
16．已知三个数a 、b 、c 满足
13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，则abc
ab bc ca
++的值为（ ） A ．
16 B ．112 C ．215 D ．1
20
（“信利杯”竞赛题）
17．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ） A ．3个球 B ．4个球 C ．5个球 D ．6个球
（第19届江苏竞赛题）
18．方程组12
6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
的解的个数为（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（“《数学周报》杯全国竞赛题”）
19．若15~x x 满足下列方程组123451234512345123
451234526
212224248
296
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
++++=⎪⎪
++++=⎨⎪++++=⎪⎪++++=⎩，求4532x x +的值．
（美国数学邀请赛试题）
20． 已知正数a 、b 、c 、d 、
e 、
f 满足4bcdef a =，9acdef b =，16abdef c =，14abcef d =，19
abcdf e =，1
16abcde f =，求()()a c e b d f ++-++的值．
（武汉市“CASIO 杯”竞赛题）
应用探究乐园
21．某市中学生举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
（1）在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与踢负场数相同，共积16分，试求该队胜了几场？
（2）在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种．
（内蒙古包头中考题）
22．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简述理由．
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。