第四章函数的连续性（14学时）● 引言在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。

从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。

主要讲以下几个问题:１．什么是“函数的连续性”?２．“间断"或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？４．初等函数的连续性有何特点？§１ 连续性概念教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：（１)使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；(２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵.教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

学时安排： 4学时 教学程序：● 引言“连续”与“间断"（不连续）照字面上来讲,是不难理解的.例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。

而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性.例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。

因此,为了给出“连续”的定义,需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃,当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化.而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。

：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →。

换句话说,当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即11lim ()()x x f x f x →=。

根据这一分析，引入下面的定义：一 函数在一点的连续性１．函数f 在点0x 连续的定义定义１(f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续。

注 000lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续"意味着“极限运算与对应法则f 可交换。

２．例子例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续.例２．2lim(21)5(2)x x f →+==。

例３．讨论函数1sin,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性。

３．函数f 在点0x 连续的等价定义１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量。

设00()y f x =，0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量。

注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零。

(区别于“增加”)。

２） 等价定义１:函数f 在点0x 连续⇔0lim 0x y ∆→∆=。

３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<。

注:一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。

如用三种定义,可以证明以下命题: 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数。

４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）。

而f 在点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）。

２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续"时,由于x=0x 时,0|()()|f x f x ε-<恒成立。

所以换为:0||x x δ-<。

３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限"，而且00lim ()()x x f x f x →=;而在讨论0lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在。

总的来讲，函数在点0x 连续的要求是:①()f x 在点0x 有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=.任何一条不满足，f 在点0x 就不连续。

同时，由定义可知,函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质。

５．f 在点0x 左（右）连续定义① 定义２：设函数f 在点0()U x +(0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（00lim ()()x x f x f x -→=），则称f在点0x 右(左）连续.②f 在点0x 连续的等价刻划定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续.如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00lim ()lim 0(0)x x xD x x f --→→===(左连续）。

例５．讨论函数2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩在点0x =的连续性. 二 区间上的连续函数 １．定义若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称f 为Ｉ上的连续函数。

对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。

若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续。

２．例子(１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；(２)函数y =(1,1)-内每一点都连续.在1x =处为左连续,在1x =-处为右连续,因而它在[1,1]-上连续.命题：初等函数在其定义区间上为连续函数.函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗? sgn x 在Ｒ上是分段连续吗?三 间断点及其分类１．不连续点（间断点）定义定义３ 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点。

注 这个定义不好；还不如说:设f 在00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()f x 的不连续点（或间断点）。

由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点,则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义;②0lim ()x x f x →不存在；③00lim ()()x x f x f x →≠。

据此，对函数的间断点作如下分类:２．间断点分类１） 可去间断点 若lim ()x x f x A→=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断点。

例如：0x =是函数sin ()|sgn |,()xf x xg x x ==的可去间断点。

“可去间断点”名称何来?通过一定的手段，可以“去掉”.设0x 是()f x 的可去间断点，且0lim ()x x f x A →=。

0(),(),f x x x f x A x x =⎧⎨≠⎩则0x 是()f x 的连续点.例如，对sin ()xg x x =，定义sin ,0()1,0xx g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则()g x 在0x =连续。

２） 跳跃间断点 若lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→存在，但00(0),(0)f x f x +-,则称点0x 为函数f 的跳跃间断点。

例如,对[]y x =，00lim[]0,lim[]1x x x x +-→→==-故0x =是它的跳跃间断点。

再如0x =是sgn x 的跳跃间断点。

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。

３） 第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点(即使称函数至少有一侧极限不存在的点)称为函数的第二类间断点。

例如,0x =是函数1x ，1sinx 的第二类间断点。

§２ 连续函数的性质教学目标：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性.能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义,并能在各种有关的具体问题中加以运用;（３)理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念. 学时安排：4学时 教学程序：引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质,都可以移到连续函数中来。

一 连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续.则f 在某0()U x 有界.性质２（局部保号性)若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<。

注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续"，把0()U x 改为00()U x 其余一致.性质３.（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g ±⋅≠也都在点0x 连续。

问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４(复合函数的连续性)若f 在点0x 连续,记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。