专题复习(4) 情景应用题◆知识讲解1．什么是情景应用题情景应用题，是指有实际背景或实际意义的数学问题，它是寓数学问题、数学思想方法和数学思想于情境中的应用题．趣味性、益智性是情境应用题的显著特点，情境应用题以其生动有趣的情节吸引人们，使人们产生强烈的探索和研究欲望．2．情境应用题的特点由于情境应用题来源于生活和生产实践，所以参考条件较多，思维有一定深度，解答方法灵活多样．解这类题的关键是：在阅读理解的基础上，根据需要取舍信息，从不同的思维角度提出问题、分析问题，恰当地应用和理解数学知识，历经重要的有价值的数学思维活动过程．3．情境应用题的主要形式（1）直接套用公式解决实际问题；（2）解决已给出数学表达式的实际问题；（3）对数学关系比较清楚、简单的实际问题，学生自己建立简单的数学模型，•并加以解决．◆例题解析例1 （2006，哈尔滨市）某汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B•两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1•辆B•型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？【分析】可设A，B两种型号的轿车每辆分别为x万元，y万元，通过列方程组解出（1）问．【解答】（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元．根据题意，得1015300, 818300.x yx y+=⎧⎨+=⎩解得15,10 xy=⎧⎨=⎩答：A，B两种型号的轿车每辆分别为10万元，15万元．（2）设购进A种型号轿车a辆，则购进B种型号轿车（30－a）辆．根据题意，得1510(30)400,0.80.5(30)20.4a aa a+-≤⎧⎨+-≥⎩解此不等式组得18≤a≤20．∵a为整数，∴a=18，19，20，∴有三种购车方案．方案1：购进A型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆；方案3：购进A型号轿车19辆，•购进B型号轿车11辆；方案3：购进A型号轿车20辆，购进B型号轿车10辆．汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案1获利18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；方案2获利19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；方案3获利20×0.8+10×0.5=21（万元）．【解答】有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后分别获利为20.4万元，20.7万元，21万元．【点评】此题通过数学建模能培养同学们应用数学知识解决实际问题的能力．例2 某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s，•而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s，那么此人不走，•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟？若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟？（假定此人上，•下扶梯的行走速度相同）【分析】本题由于存在相对运动，理解题意较困难，但联想到我们熟知的航行问题中的顺水、逆水航行的数学模型，将电梯运行的速度类比为水流的速度，人在电梯静止（停电时）的上、下扶梯的速度类比为船在静水中航行的速度，那么问题便迎刃而解．【解答】设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要xmin，停电时此人从底部走到顶部需用ymin，依题意得1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ．【点评】遇到新问题若能联想到常见题的模型，就可以使很多难以入手的问题找到突破口，这要求同学们具备较强的联想、类比能力．◆强化训练 一、填空题1．（2008，河南省）某商店一套夏装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价为________元．2．某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，•发现每一打（12件）降价0．8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成好，问他第一次买的小商品是______件．3．（2006，山西省）某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调整，结果如下：为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为_____元．4．（2004，资阳市）我市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费；若每月用水不超过7m 3，则按每立方米1元收费；若每月用户超过7m 3，•则超过的部分按每立方米2元收费．如果某居民今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5•月的用水量为_____m 3．5．（2004，潍坊市）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），•则小明至少答对了____道题．6．（2005，济南市）某商场计划每月销售900台电脑，5月1日至7日黄金周期间，•商场决定开展促销活动，5月的销售计划又增加了30%，已知黄金周这7•天平均每天销售54台，则这个商场本月后24天平均每天至少销售______台才能完成本月计划． 二、选择题7．（2004，绵阳市）有一旅客携带30kg 行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定：旅客最多可免费携带20kg 行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购行李票，•已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（ ）A ．300元B ．400元C ．600元D ．800元 8．足球一般是由许多黑白相间的小皮革缝制而成的（如图），黑块呈正五边形，白块呈正六边形，已知黑块有12块，则白块有（ ）A ．32块B ．20块C ．12块D ．10块 9．（2006，重庆市）免交农业税大大提高了农民的生产积极性，镇政府引导农民对生产的某种土特产进行加工后，分为甲，乙，丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表：质量/（g/袋） 销售价/（元/袋） 包装成本费用/（元/袋）甲 400 4.8 0.5 乙 300 3.6 0.4 丙2002.50.3春节期间，这三种不同包装的土特产都销售了12000kg ，那么本次销售中，这三种包装的土特产获得利润最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定10．一支部队排成am•长队行军，•在队尾的战士要与在最前面的团长XXX ，•他用t 1min 时间追上了团长；为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2min ，•如果他从最前头跑步回到队尾，那么要（ ） A ．1212t t t t +min B ．12122t tt t +min C ．12122t t t t +min D ．12122t t t t +min11．（2008，山东省）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，•若该书的进价为21元，则标价为（ ）A ．26元B ．27元C ．28元D ．29元12．（2004，山东省）某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%（利润率=-售价进价进价）．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润为（）A．25% B．20% C．16% D．12.5%13．2008年某市应届初中毕业生人数约10.8万．比去年减少约0.2万，其中报名参加高级中等学校招生考试（简称中考）的人数约10.5万，比去年增加0.3万，下列结论：（1）与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降了0.210.8×100%；（2）•与2007•年相比，•2008•年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了0.310.5×100%；（3）与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了（10.510.210.811-）×100%．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题14．（2006，淮安市）东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20•元/只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降价0.10元[例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20－10）=1元，就可以按19元/•只的价格购买]，但是最低价为16元/只．（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买x只时（x>10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，•最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？15．（2006，重庆市）机械加工需要进行润滑以减少摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲，乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术更新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油量的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？16．（2008，扬州市）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，•经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表所示：未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=14t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=－12t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，•每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．17．（2004，绍兴市）七年级（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一”节期间的销售情况，如图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，请你分别求出A，B两个超市今年“五一”节期间的销售额．18．（2008，贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，•当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．•设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？19．（2006，苏州市）司机在驾驶汽车时，•发现紧急情况到踩下刹车这段时间之后还会继续行驶一段距离．•我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”（如图）．已知汽车的刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间有如下关系：s=tv+kv2．其中t为司机的反应时间（单位：s），k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s．（1）若志愿者未饮酒，且车速为11m/s，则该汽车的刹车距离为______m（精确到0.1m）．（2）当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m．假如该志愿者当初是以11m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？（精确到0.1m）（3）假如你驾驶该型号的汽车以11～17m/s的速度行驶，•且与前方车辆的车距保持在40～50m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，则你的反应时间应不超过多少秒？（精确到0.01s）20．（2004，泰安市）“五一”期间，我市某商场举行促销活动，活动期间规定：•商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额p（元）的范围获得奖券金额/元200≤p<40030400≤p<50060500≤p<700100根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元），•设购买商品的优惠率=购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为12，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？21．（2008，咸宁市）“5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，•某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，•现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点．从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，•并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m>0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．22．（2005，哈尔滨市）双蓉服装店老板到厂家选购A，B两种型号的服装，•若购进A 种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元；若购进A种型号服装12件，B型型号服装8件，需要1880元．（1）求A，B两种型号的服装每件分别为多少元？（2）若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？23．（2005，包头市）小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，•结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元？（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，•问小明最多可比原计划多买几个玩具？24．（2005，山西省）某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲，乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：•甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲，乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，•并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．参考答案1．340 2．50 3．130 4．12 5．24 6．33 7．B 8．B 9．C 10．C 11．C 12．C 13．B 14．（1）50只；（2）当10<x≤50时，y=－0.1x 2+9x ； 当x>50时，y=4x ．（3）利润y=－0.1x 2+9x=－0.1（x －45）2+202.5，因为卖得越多赚得越多，即y 随x 的增大而增大，由二次函数图像可知，x≤45，最低售价为20－0.1（45－10）=16.5元． 15．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%=28（kg ）． （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg ． 由题意，得：x×[1－（90－x ）×1．6%－60%]=12， 整理得x 2－65x －750=0， 解得：x 1=75，x 2=－10（舍去）． （90－75）×1.6+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg ． （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75kg ，•用油的重复利用率是84%． 16．（1）将194t m =⎧⎨=⎩和390t m =⎧⎨=⎩代入一次函数m=kt+b 中，有94903k b k b =+⎧⎨=+⎩∴296k b =-⎧⎨=⎩∴m=－2t+96． 经检验，其他点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=－2t+96． （2）设前20天日销售利润为P 1元，后20天日销售利润为P 2元． 由P 1=（－2t+96）（14t+5）=－12t 2+14t+480=－12（t －14）2+578，∵1≤t≤20， ∴当t=14时，P 1有最大值578（元）．由P 2=（－2t+96）（－12t+20）=t 2－88t+1920=（t －44）2－16， ∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P 2在21≤t≤40上随t 的增大而减小，∴当t=21时，P 2有最大值为（21－44）2－16=529－16=513（元）． ∵578>513，故第14天时，销售利润最大为578元． （3）P 1=（－2t+96）（14t+5－a ）=12t 2+（14+2a ）t+480－96a 对称轴为t=(142)12()2a -+⨯-=14+2a ． ∵1≤t≤20，∴当14+2a≥20，即a≥3时，P 1随t 的增大而增大． 又∵a<4，∴3≤a<4．17．设去年A 超市销售额为x 万元，则B 超市销售（150－x ）万元，由题意，得 （1+15%）x+（1+10%）（150－x ）=170 解得x=100，150－x=50． 答：略 18．（1）y=60－10x． （2）z=（200+x ）（60－10x ）=－110x 2+40x+12 000． （3）w=（200+x ）（60－10x ）－20（60－10x）=－110x 2+42x+10 800=－110（x －210）2+15 210当x=210时，w 有最大值．此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15 210元 19．（1）17.4（2）设志愿者饮酒后的反应时间为t 1，则t 1×17+0.08×17=46. t≈1.35s ． 当v=11m/s 时，s=t 1×11+0.08×112=24.53． ∴24.53－17.38≈7.2（m ）．答：刹车距离将比未饮酒时增加7.2m ．（3）为防止“追尾”，当车速为17m/s时，刹车距离必须小于40m．∴t×17+0.08×172<40，解得t<0.993（s）．答：反应时间不超过0.99s．20．（1）顾客得到的优惠率为32.5% （2）西装标价为750元．21．（1）填表依题意得：20（240－x）+25（x－40）=15x+18（300－x）．解得：x=200．（2）w与x之间的函数关系为：w=2x+9200．依题意得：2400,400,0, 3000.xxxx-≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩∴40≤x≤240．在w=2x+9200中，∵2>0，∴w随x的增大而增大．表一故当x=40时，总运费最小．此时调运方案为如表一所示．（3）由题意知w=（2－m）x+9200∴0<m<2时，（2）中调运方案总运费最小；m=2时，在40≤x≤240的前提下调运．表二方案的总运费不变；2<m<15时，x=240总运费最小，其调运方案如表二所示．22．（1）设A种型号的服装每件为x元，B种型号的服装每件为y元．根据题意，得9101810 1281800 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：90100x y =⎧⎨=⎩答：A ，B 两种型号的服装每件分别为90元，100元． （2）设B 型服装购进m 件，则A 型服装购进（2m+4）件．根据题意，得18(24)306992428m m m ++≥⎧⎨+≤⎩解不等式组，得912≤m≤12． ∵m 为正整数． ∴m=10，11，12． ∴2m+4=24，26，28．答：有三种进货方案：B 型服装购买10件，A 型服装购买24件，或B 型服装购买11件，A 型服装购买26件；或B 型服装购买12件，A 型服装购买28件． 23．（1）由小明原计划买x 个小熊玩具，压岁钱共有y 元由题意，得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩解这个方程组，得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具，压岁钱共有300元． （2）设小明比原计划多买z 个小熊玩具， 由题意得300－10（21+z ）≥20%×300，解得z≤3．24．（1）解法一：设甲小组每天修理桌凳x 套，则乙小组每天修理（x+8）套，依题意得：960960208x x -=+ 去分母，整理得：x 2+8x －384=0 解得：x 1=－24，x 2=16经检验，x 1=－24，x 2=16都是原方程的根 但x 1=－24不合题意，舍去，所以只取x 2=16 此时x+8=24．答：甲小组每天修桌凳16套，乙小组每天修24套．解法二：乙小组每天比甲小组多修8套，修理费每天多40是40÷8=5（元）∴每套修理费5元80÷5=16（套）120÷5=24（套）答：甲小组每天修桌凳16套，乙小组每天修24套．（2）若甲小组单独修理，则需960÷16=60（天）总费用：60×80+60×10=5400（元）若乙小组单独修理，则需960÷24=40（元）总费用：40×120+40×10=5200（元）若甲，乙两小组合作：则需960÷（24+16）=24（元）总费用：（80+120）×24+24×10=5040（元）通过比较看出：选择第三种方案符合既省时，又省钱的要求．。