2010年攻读硕士学位研究生入学考试命题
考试科目 高等代数
1（10分） 求证：(1)|(1)d n x x --当且仅当|d n ，其中,d n 都是非负整数。

2（10分）解下列联立方程
2222565160240y xy x y xy x y x ⎧-+-=⎨-+---=⎩
3（10分）计算1n +阶行列式的值
1
212 (01)
0 (00)
1...0.
....
....
...00...1n n a a a b b b
4 （15分）当,a b 取什么值时，下列线性方程组有解，并在有解时求出所有解
1234523451234512345122633235433x x x x x x x x x x x x x x a
x x x x x b ++++=⎧⎪+++=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩
5 （10分）设12,,...,s ααα为线性方程组0AX =一个基础解系，11122t t βαα=+，21223t t βαα=+，····，121s s t t βαα=+，其中12,t t 是实常数，试问，12,t t 满足什么关系时候，12,,ββ····，s β也是线性方程组0AX =的一个基础解系。

6（10分）证明：1
*n A A -=，其中A 是n n ⨯矩阵()2n ≥。

7（10分）设线性方程组
12312312322020
30x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
的系数矩阵为A ，三阶矩阵0B ≠,且0AB =，试求λ的值。

8（15分）设A 为数域p 上秩为r 的m n ⨯矩阵，0r >，试证：存在秩为r 的m r ⨯矩阵F 和秩为r 的r n ⨯矩阵G ,使得A FG =.
9 (10分) 设,A B 为实对称矩阵，若B 为正定矩阵，证明，若BA 的特征值都大于零，则A 是正定矩阵。

10（10分）设12(1,1,0,1)(1,0,2,1)αα=-⎧⎨=--⎩，12(2,0,1,2)(1,2,3,3)ββ=--⎧⎨=--⎩，求由向量i α生成的子
空间与由向量i β生成的子空间的交的基与维数。

11（15分）设V 全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义V 上的线性变换T ,
[]()()()T f x xf x f x '=-
求线性变换T 的核1(0)T -及值域TV 。

12（15分）欧氏空间V 中的线性变换σ称为是反对称的，如果对于任意的,,(,)(,),V αβσαβασβ∈=-证明：σ为反对称的充要条件是σ在一组标准正交基下的矩阵为反对称的。

13 (15分) 设123εεε，，是线性空间V 的一组基，
123,,f f f 是它的对偶基，令
1132123323,,αεεαεεεαεε=-=+-=+
试证：123,,ααα是现行空间V 的一组基，并求它的对偶基（用123,,f f f 表示）。