导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x
y
∆∆（也
叫函数的平均变化率）有极限即
x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y
=，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.
x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)
(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/
0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

6.在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因
此，导数的定义式可写成0
0000/
)
()(lim
)
()(lim
)(0
x x x f x f x
x f x x f x f x x o
x --=∆-∆+=→→∆。

7.若极限x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。

反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数
)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。

一般地，
x b a x =∆+→∆)(lim 0
，其中b a ,为常数。

特别地，a a x =→∆0
lim 。

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即
)(/
x f ＝/
y ＝x
x f x x f x
y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
函数)(x f y =在0x 处的导数0
/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导
数)(/x f 在0x 处的函数值，即0
/
x x y =＝)(0/
x f 。

所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作
)(0/
x f 。

注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间
),(b a 内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点0x 的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/
x f ＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0
4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率
x x f x x f x
y ∆-∆+=
∆∆)
()(。

（3）.取极限，得导数/y ＝x
y x ∆∆→∆0
lim 。

例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。

例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。

（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）43-=x y ； （2）x y 21-=
(3)x x y 1232
-= (3)3
5x y -=
2.求函数12
+=x y 在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）2,02==x x y ； （2）0,3
102
==x x y ；
（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y .
4.求下列函数的导数：
（1）;14+=x y （2）210x y -=；
（3）;323
x x y -= （4）722
+=x y 。

5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。